Determinar as derivadas parciais
, sendo
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as derivadas parciais
e
. O problema está relacionado a derivadas parciais em funções que dependem de mais de uma variável. Vamos precisar usar regras de derivação e talvez um pouquinho de álgebra para chegar lá.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as funções que temos:
Aqui,
depende de
e
,
depende de
, e
depende de
e de si mesmo, o que torna isso um pouco mais complicado. Vamos começar substituindo
na expressão de
:
Então, simplificamos
para
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar
e
. Vamos começar com
. Como
, derivando em relação a
:
Passo 4
Agora, para encontrar
, precisamos lembrar que
depende de
, que por sua vez depende de
. Então, usamos a regra da cadeia:
Já sabemos que
, então precisamos encontrar
.
Passo 5
Vamos olhar para a equação que define
:
Para encontrar
, vamos derivar ambos os lados em relação a
:
Isso veio da regra da cadeia e da derivada do logaritmo.
Passo 6
Vamos organizar essa equação para resolver
:
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar o denominador:
Agora, vamos agrupar os termos que contêm
:
Fatorando
:
Simplificando:
Então:
Passo 7
Agora que temos
, voltamos à nossa expressão para
:
Resposta
As derivadas parciais são: