Determinar as derivadas parciais partial zpartial x e partial zpartial y, sendo
z=u y+u^2, u=y, y=x^2+y^2+ln (x y)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as derivadas parciais e . O problema está relacionado a derivadas parciais em funções que dependem de mais de uma variável. Vamos precisar usar regras de derivação e talvez um pouquinho de álgebra para chegar lá.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as funções que temos:
z = u y + u^2
u = y
y = x^2 + y^2 + ln(x y)
Aqui, z = y cdot y + y^2 = y^2 + y^2 = 2y^2 depende de e , depende de , e depende de e de si mesmo, o que torna isso um pouco mais complicado. Vamos começar substituindo na expressão de :
Então, simplificamos para .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar partial zpartial y = 4y e . Vamos começar com . Como , derivando em relação a :

Passo 4

Agora, para encontrar partial zpartial x = partial zpartial y cdot partial ypartial x , precisamos lembrar que depende de , que por sua vez depende de . Então, usamos a regra da cadeia:
Já sabemos que , então precisamos encontrar .

Passo 5

Vamos olhar para a equação que define y = x^2 + y^2 + ln(x y) :
d yd x = 2x + 2y cdot d yd x + 1x y (y + x cdot d yd x)
Para encontrar , vamos derivar ambos os lados em relação a :
Isso veio da regra da cadeia e da derivada do logaritmo.

Passo 6

Vamos organizar essa equação para resolver d yd x = 2x + 2y cdot d yd x + y + x cdot d yd xx y :
x y cdot d yd x = 2x cdot x y + 2y cdot x y cdot d yd x + y + x cdot d yd x
Multiplicando ambos os lados por d yd x (x y - 2x y^2 - x) = 2x^2 y + y para eliminar o denominador:
d yd x = 2x^2 y + yx y - 2x y^2 - x
Agora, vamos agrupar os termos que contêm d yd x = y (2x^2 + 1)x (1 - 2y^2 - 1) = y (2x^2 + 1)-2x y^2 :
d yd x = -(2x^2 + 1)2x y
Fatorando :
Simplificando:
Então:

Passo 7

Agora que temos partial zpartial x = 4y cdot (-2x^2 + 12x y) = -4y (2x^2 + 1)2x y = -4(2x^2 + 1)2x = -4 cdot 2x^2 + 42x = -8x^2 + 42x = -4x^2 + 2x = -4x - 2x , voltamos à nossa expressão para :

Resposta

As derivadas parciais são:
partial zpartial x = -4x - 2x
partial zpartial y = 4y

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