Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as derivadas parciais e . O problema está relacionado a derivadas parciais em funções que dependem de mais de uma variável. Vamos precisar usar regras de derivação e talvez um pouquinho de álgebra para chegar lá.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as funções que temos:
Aqui, depende de e , depende de , e depende de e de si mesmo, o que torna isso um pouco mais complicado. Vamos começar substituindo na expressão de :
Então, simplificamos para .
Passo 3
Agora, precisamos encontrar e . Vamos começar com . Como , derivando em relação a :
Passo 4
Agora, para encontrar , precisamos lembrar que depende de , que por sua vez depende de . Então, usamos a regra da cadeia:
Já sabemos que , então precisamos encontrar .
Passo 5
Vamos olhar para a equação que define :
Para encontrar , vamos derivar ambos os lados em relação a :
Isso veio da regra da cadeia e da derivada do logaritmo.
Passo 6
Vamos organizar essa equação para resolver :
Multiplicando ambos os lados por para eliminar o denominador:
Agora, vamos agrupar os termos que contêm :
Fatorando :
Simplificando:
Então:
Passo 7
Agora que temos , voltamos à nossa expressão para :