Dada a função f(x, y)=x^2++x y-y, calcular:
b) De
Mostre que De e que lim (De

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos a função . O que a questão pede é para calcular a variação dessa função quando e mudam um pouquinho, ou seja, calcular . Para isso, vamos utilizar conceitos de cálculo diferencial, como a definição de variação de uma função de duas variáveis e derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é De. É simplesmente a diferença entre o valor da função após uma pequena mudança em e e o valor original da função. Matematicamente, isso fica:
Vamos calcular isso substituindo na função original.

Passo 3

Substituindo na função:
f(x + De
Agora, vamos expandir e simplificar:
(x + De
(x + De
Portanto:
De
Simplificando os termos semelhantes:
De

Passo 4

Agora, queremos escrever d f = (2x + y) De na forma R(De, onde De é a parte linear (diferencial) e é o resto.
Observando os termos:
Então, temos:

Passo 5

Por último, precisamos mostrar que o resto lim (De tende a zero quando tende a . Olhando para os termos de :
Note que cada termo em contém ou , que estão indo para zero. Portanto, todo o também tende a zero.

Resposta

Conseguimos escrever d f = (2x + y) De, onde
lim (De
e

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