Beleza, vamos lá! Temos a função . O que a questão pede é para calcular a variação dessa função quando e mudam um pouquinho, ou seja, calcular . Para isso, vamos utilizar conceitos de cálculo diferencial, como a definição de variação de uma função de duas variáveis e derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é . É simplesmente a diferença entre o valor da função após uma pequena mudança em e e o valor original da função. Matematicamente, isso fica:
Vamos calcular isso substituindo na função original.
Passo 3
Substituindo na função:
Agora, vamos expandir e simplificar:
Portanto:
Simplificando os termos semelhantes:
Passo 4
Agora, queremos escrever na forma , onde é a parte linear (diferencial) e é o resto.
Observando os termos:
Então, temos:
Passo 5
Por último, precisamos mostrar que o resto tende a zero quando tende a . Olhando para os termos de :
Note que cada termo em contém ou , que estão indo para zero. Portanto, todo o também tende a zero.