Dada a função
, calcular:
b)
Mostre que
e que
b)
Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos a função
. O que a questão pede é para calcular a variação dessa função quando
e
mudam um pouquinho, ou seja, calcular
. Para isso, vamos utilizar conceitos de cálculo diferencial, como a definição de variação de uma função de duas variáveis e derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é
. É simplesmente a diferença entre o valor da função após uma pequena mudança em
e
e o valor original da função. Matematicamente, isso fica:
Vamos calcular isso substituindo na função original.
Passo 3
Substituindo na função:
Agora, vamos expandir e simplificar:
Portanto:
Simplificando os termos semelhantes:
Passo 4
Agora, queremos escrever
na forma
, onde
é a parte linear (diferencial) e
é o resto.
Observando os termos:
Então, temos:
Passo 5
Por último, precisamos mostrar que o resto
tende a zero quando
tende a
. Olhando para os termos de
:
Note que cada termo em
contém
ou
, que estão indo para zero. Portanto, todo o
também tende a zero.
Resposta
Conseguimos escrever
, onde
e