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Esboce o traço da curva determinada pela função vetorial , sendo:
(a)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para esboçarmos o traço da curva definida pela função vetorial , onde é um número real. Aqui, vamos usar conhecimentos de funções vetoriais e esboço de curvas no plano cartesiano. Para resolver, vamos precisar entender como relacionar as componentes e para traçar a curva.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as componentes da função vetorial:
Aqui, e .

Passo 3

Agora, para esboçar a curva, precisamos relacionar com . Para isso, vamos eliminar o parâmetro . A relação pode ser rearranjada para encontrar em função de :

Passo 4

Substituímos esse valor de na expressão de :
Então, temos a equação da curva em termos de :

Passo 5

Essa é a equação de uma parábola que abre para baixo, com vértice no ponto . Para desenhar o esboço:
  1. Vértice:
  2. Abertura: Para baixo, devido ao coeficiente negativo de
  3. Interseções com os eixos:
    • Eixo y: Quando ,
    • Eixo x: Quando ,

Resposta

O traço da curva é uma parábola que abre para baixo, com vértice no ponto e interseções com o eixo x nos pontos e . O esboço fica assim:
|
2 |     
1 |----●----     
0 |  ●    ●
  -1  0   1
Onde o ponto central é o vértice e os pontos na linha horizontal representam as interseções com o eixo x.

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Dizemos que uma curva , com derivada contínua, está parametrizada pelo comprimento de arco se , para todo . Verifique que cada uma das curvas abaixo está parametrizada pelo comprimento de arco.
b) , onde é um real fixo
Calcular , em que R é a região delimitada por e .
Considere a curva parametrizada por , em que são constantes fixadas.
(b) Mostre que também está contida em um plano que contém o eixo .
Calcule os limites.