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Esboce o traço da curva
determinada pela função vetorial
, sendo:
(a)
Esboce o traço da curva
(a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para esboçarmos o traço da curva
definida pela função vetorial
, onde
é um número real. Aqui, vamos usar conhecimentos de funções vetoriais e esboço de curvas no plano cartesiano. Para resolver, vamos precisar entender como relacionar as componentes
e
para traçar a curva.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as componentes da função vetorial:
Aqui,
e
.
Passo 3
Agora, para esboçar a curva, precisamos relacionar
com
. Para isso, vamos eliminar o parâmetro
. A relação
pode ser rearranjada para encontrar
em função de
:
Passo 4
Substituímos esse valor de
na expressão de
:
Então, temos a equação da curva em termos de
:
Passo 5
Essa é a equação de uma parábola que abre para baixo, com vértice no ponto
. Para desenhar o esboço:
- Vértice:
- Abertura: Para baixo, devido ao coeficiente negativo de
- Interseções com os eixos:
- Eixo y: Quando
, - Eixo x: Quando
,
- Eixo y: Quando
Resposta
O traço da curva
é uma parábola que abre para baixo, com vértice no ponto
e interseções com o eixo x nos pontos
e
. O esboço fica assim:
|
2 |
1 |----●----
0 | ● ●
-1 0 1
Onde o ponto central é o vértice
e os pontos na linha horizontal representam as interseções com o eixo x.
Exercícios relacionados
Dizemos que uma curva
, com derivada contínua, está parametrizada pelo comprimento de arco se
, para todo
. Verifique que cada uma das curvas abaixo está parametrizada pelo comprimento de arco.
b) , onde
é um real fixo
b)
Calcular
, em que R é a região delimitada por
e
.
Considere a curva
parametrizada por
, em que
são constantes fixadas.
(b) Mostre que também está contida em um plano que contém o eixo
.
(b) Mostre que
Calcule os limites.