Considere a curva
parametrizada por
, em que
são constantes fixadas.
(b) Mostre que
também está contida em um plano que contém o eixo
.
(b) Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma curva
definida pelas equações paramétricas:
onde
são constantes. A parte (b) da questão quer que a gente mostre que essa curva está contida em um plano que também contém o eixo
.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre equações de planos e condições para que uma curva esteja dentro de um plano. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é a equação geral de um plano no espaço tridimensional. A equação de um plano pode ser escrita como:
onde
não são todos zero, e
são constantes que determinam a inclinação e a posição do plano.
No nosso caso, queremos que o plano contenha o eixo
. O eixo
é formado por todos os pontos onde
e
, mas
pode ser qualquer valor. Vamos ver o que isso implica para a equação do plano.
Passo 3
Se o plano contém o eixo
, então todo ponto do eixo
deve satisfazer a equação do plano. Ou seja, para
e
, qualquer
deve satisfazer:
Simplificando:
Como isso deve ser verdade para todo
, a única forma disso acontecer é se
e
. Portanto, a equação do plano simplifica para:
Passo 4
Agora, vamos verificar se todos os pontos da curva
satisfazem essa equação. Substituindo as expressões paramétricas de
e
na equação do plano:
Fatorando
:
Para que essa equação seja válida para todo
, o fator dentro dos parênteses deve ser zero:
Passo 5
Essa é uma condição que relaciona os coeficientes
e
do plano. Podemos escolher valores para
e
que satisfaçam essa equação. Por exemplo, podemos resolver para
em termos de
:
Isso nos dá uma relação entre
e
que garante que todos os pontos da curva
estão no plano
.
Resposta
Portanto, a curva
está contida no plano definido por
, onde os coeficientes
e
satisfazem a relação
. Esse plano também contém o eixo
, como queríamos mostrar.
Exercícios relacionados
17
Esboce o traço da curva determinada pela função vetorial
, sendo:
(a)
Esboce o traço da curva
(a)
Dizemos que uma curva
, com derivada contínua, está parametrizada pelo comprimento de arco se
, para todo
. Verifique que cada uma das curvas abaixo está parametrizada pelo comprimento de arco.
b) , onde
é um real fixo
b)
Calcule os limites.
22
Uma curva tem a propriedade: o vetor posição é sempre perpendicular ao vetor tangente
. Mostre que a curva está sobre uma superfície esférica com centro na origem.
Uma curva tem a propriedade: o vetor posição