Considere a curva parametrizada por , em que são constantes fixadas.
(b) Mostre que também está contida em um plano que contém o eixo .

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma curva definida pelas equações paramétricas:
onde são constantes. A parte (b) da questão quer que a gente mostre que essa curva está contida em um plano que também contém o eixo .
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre equações de planos e condições para que uma curva esteja dentro de um plano. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a equação geral de um plano no espaço tridimensional. A equação de um plano pode ser escrita como:
onde não são todos zero, e são constantes que determinam a inclinação e a posição do plano.
No nosso caso, queremos que o plano contenha o eixo . O eixo é formado por todos os pontos onde e , mas pode ser qualquer valor. Vamos ver o que isso implica para a equação do plano.

Passo 3

Se o plano contém o eixo , então todo ponto do eixo deve satisfazer a equação do plano. Ou seja, para e , qualquer deve satisfazer:
Simplificando:
Como isso deve ser verdade para todo , a única forma disso acontecer é se e . Portanto, a equação do plano simplifica para:

Passo 4

Agora, vamos verificar se todos os pontos da curva satisfazem essa equação. Substituindo as expressões paramétricas de e na equação do plano:
Fatorando :
Para que essa equação seja válida para todo , o fator dentro dos parênteses deve ser zero:

Passo 5

Essa é uma condição que relaciona os coeficientes e do plano. Podemos escolher valores para e que satisfaçam essa equação. Por exemplo, podemos resolver para em termos de :
Isso nos dá uma relação entre e que garante que todos os pontos da curva estão no plano .

Resposta

Portanto, a curva está contida no plano definido por , onde os coeficientes e satisfazem a relação . Esse plano também contém o eixo , como queríamos mostrar.

Exercícios relacionados

17
Esboce o traço da curva determinada pela função vetorial , sendo:
(a)
Dizemos que uma curva , com derivada contínua, está parametrizada pelo comprimento de arco se , para todo . Verifique que cada uma das curvas abaixo está parametrizada pelo comprimento de arco.
b) , onde é um real fixo
Calcule os limites.
22
Uma curva tem a propriedade: o vetor posição é sempre perpendicular ao vetor tangente . Mostre que a curva está sobre uma superfície esférica com centro na origem.