Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo integral juntos! A gente precisa calcular a integral dupla de sobre a região , que é delimitada pelas retas , e . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral múltiplo e entender como determinar os limites de integração para a região .
Passo 2
Primeiro, precisamos visualizar ou traçar as retas que delimitam a região :
Vamos encontrar os pontos de interseção dessas retas para entender melhor a forma da região .
Passo 3
Vamos encontrar a interseção entre e :
Substituindo em , temos . Então, o ponto de interseção é .
Passo 4
Agora, vamos encontrar a interseção entre e :
Subtraindo de ambos os lados:
Substituindo em , temos . Então, o ponto de interseção é .
Passo 5
Por último, vamos encontrar a interseção entre e :
Somando em ambos os lados:
Substituindo em , temos . Então, o ponto de interseção é .
Passo 6
Agora que temos os três pontos de interseção: , e , podemos esboçar a região . Observamos que é um triângulo com esses vértices.
Vamos decidir a ordem de integração. Optaremos por integrar primeiro em relação a e depois em relação a .
Passo 7
Para isso, precisamos expressar em termos de :
Da reta , temos .
Da reta , temos .
Da reta , resolvendo para :
Passo 8
Determina-se os limites de integração para . Observando os pontos de interseção, varia de 0 a 4.