Calcular , em que R é a região delimitada por e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo integral juntos! A gente precisa calcular a integral dupla de sobre a região , que é delimitada pelas retas , e . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral múltiplo e entender como determinar os limites de integração para a região .

Passo 2

Primeiro, precisamos visualizar ou traçar as retas que delimitam a região :
Vamos encontrar os pontos de interseção dessas retas para entender melhor a forma da região .

Passo 3

Vamos encontrar a interseção entre e :
Substituindo em , temos . Então, o ponto de interseção é .

Passo 4

Agora, vamos encontrar a interseção entre e :
Subtraindo de ambos os lados:
Substituindo em , temos . Então, o ponto de interseção é .

Passo 5

Por último, vamos encontrar a interseção entre e :
Somando em ambos os lados:
Substituindo em , temos . Então, o ponto de interseção é .

Passo 6

Agora que temos os três pontos de interseção: , e , podemos esboçar a região . Observamos que é um triângulo com esses vértices.
Vamos decidir a ordem de integração. Optaremos por integrar primeiro em relação a e depois em relação a .

Passo 7

Para isso, precisamos expressar em termos de :
  • Da reta , temos .
  • Da reta , temos .
  • Da reta , resolvendo para :

Passo 8

Determina-se os limites de integração para . Observando os pontos de interseção, varia de 0 a 4.
Para cada valor de neste intervalo:
  • O limite inferior para é dado pela reta .
  • O limite superior para é dado pela reta .

Passo 9

Agora, podemos escrever a integral dupla:

Passo 10

Vamos resolver a integral interna em relação a :
Simplificando:

Passo 11

Agora, integramos em relação a :
Calculando a antiderivada:
Substituindo :
Subtraindo o valor em (que é 0):

Resposta

O valor da integral dupla é .

Exercícios relacionados

Mostre que:
a) Se , então ;
Calcule os limites.
Dizemos que uma curva , com derivada contínua, está parametrizada pelo comprimento de arco se , para todo . Verifique que cada uma das curvas abaixo está parametrizada pelo comprimento de arco.
b) , onde é um real fixo
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Esboce o traço da curva determinada pela função vetorial , sendo:
(a)