Calcular integral duplaR x d x d y, em que R é a região delimitada por y=-x, y=4 x e y=32 x+52.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo integral juntos! A gente precisa calcular a integral dupla de sobre a região , que é delimitada pelas retas , e . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral múltiplo e entender como determinar os limites de integração para a região .

Passo 2

Primeiro, precisamos visualizar ou traçar as retas que delimitam a região :
Vamos encontrar os pontos de interseção dessas retas para entender melhor a forma da região .

Passo 3

Vamos encontrar a interseção entre -x = 4x Rightarrow -x - 4x = 0 Rightarrow -5x = 0 Rightarrow x = 0 e :
Substituindo em , temos . Então, o ponto de interseção é .

Passo 4

Agora, vamos encontrar a interseção entre 4x = 32x + 52 e 4x - 32x = 52 Rightarrow 52x = 52 Rightarrow x = 1 :
Subtraindo de ambos os lados:
Substituindo em , temos . Então, o ponto de interseção é .

Passo 5

Por último, vamos encontrar a interseção entre -x = 32x + 52 e 0 = 52x + 52 Rightarrow 52x = -52 Rightarrow x = -1 :
Somando em ambos os lados:
Substituindo em , temos . Então, o ponto de interseção é .

Passo 6

Agora que temos os três pontos de interseção: , e , podemos esboçar a região . Observamos que é um triângulo com esses vértices.
Vamos decidir a ordem de integração. Optaremos por integrar primeiro em relação a e depois em relação a .

Passo 7

Para isso, precisamos expressar y = 32x + 52 Rightarrow 32x = y - 52 Rightarrow x = 23(y - 52) = 2y - 53 em termos de :
  • Da reta , temos .
  • Da reta , temos .
  • Da reta , resolvendo para :

Passo 8

Determina-se os limites de integração para . Observando os pontos de interseção, varia de 0 a 4.
Para cada valor de neste intervalo:
  • O limite inferior para é dado pela reta .
  • O limite superior para é dado pela reta .

Passo 9

Agora, podemos escrever a integral dupla:
integral duplaR x , dx , dy = integral0^4 integral-y^2y - 53 x , dx , dy

Passo 10

Vamos resolver a integral interna em relação a integral-y^2y - 53 x , dx = [ x^22 ]-y^2y - 53 = 12 ( (2y - 53)^2 - (-y)^2 ) :
12 ( (2y - 5)^29 - y^2 ) = 12 ( 4y^2 - 20y + 259 - y^2 ) = 12 ( 4y^2 - 20y + 25 - 9y^29 ) = 12 ( -5y^2 - 20y + 259 ) = -5y^2 - 20y + 2518
Simplificando:

Passo 11

Agora, integramos em relação a integral0^4 -5y^2 - 20y + 2518 , dy = 118 integral0^4 (-5y^2 - 20y + 25) , dy :
118 ( -53y^3 - 10y^2 + 25y ) gr|0^4
Calculando a antiderivada:
-53(64) - 10(16) + 25(4) = -3203 - 160 + 100 = -3203 - 60 = -5003
Substituindo 118 ( -5003 ) = -50054 = -25027 :
Subtraindo o valor em (que é 0):

Resposta

O valor da integral dupla é .

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