Dizemos que uma curva
, com derivada contínua, está parametrizada pelo comprimento de arco se
, para todo
. Verifique que cada uma das curvas abaixo está parametrizada pelo comprimento de arco.
b)
, onde
é um real fixo
b)
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma curva
, onde
é um número real fixo e
. Queremos verificar se essa curva está parametrizada pelo comprimento de arco. Isso significa que precisamos mostrar que a derivada da curva em relação a
tem norma igual a 1, ou seja,
. Para isso, vamos calcular a derivada da curva e a sua norma passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada da curva
em relação a
. A derivada de
é dada por:
Passo 3
Agora, vamos calcular cada componente da derivada:
Para o primeiro componente:
Para o segundo componente:
Portanto, a derivada fica:
Passo 4
Agora, vamos calcular a norma da derivada
:
Resposta
Como
para todo
, a curva está parametrizada pelo comprimento de arco.
Exercícios relacionados
Calcular
, em que R é a região delimitada por
e
.
Mostre que:
a) Se , então
;
a) Se
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Esboce o traço da curva determinada pela função vetorial
, sendo:
(a)
Esboce o traço da curva
(a)
Considere a curva
parametrizada por
, em que
são constantes fixadas.
(b) Mostre que também está contida em um plano que contém o eixo
.
(b) Mostre que