Dizemos que uma curva delta:[alpha, beta] -> R^n, com derivada contínua, está parametrizada pelo comprimento de arco se ||delta'(s)|| = 1, para todo s em [α, β]. Verifique que cada uma das curvas abaixo está parametrizada pelo comprimento de arco.
b) delta(s) = (R cos(s/R), R sen(s/R)), s ≥ 0, onde R > 0 é um real fixo

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma curva , onde é um número real fixo e . Queremos verificar se essa curva está parametrizada pelo comprimento de arco. Isso significa que precisamos mostrar que a derivada da curva em relação a tem norma igual a 1, ou seja, . Para isso, vamos calcular a derivada da curva e a sua norma passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada da curva em relação a . A derivada de é dada por:

Passo 3

Agora, vamos calcular cada componente da derivada:
Para o primeiro componente:
Para o segundo componente:
Portanto, a derivada fica:

Passo 4

Agora, vamos calcular a norma da derivada :

Resposta

Como para todo , a curva está parametrizada pelo comprimento de arco.

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