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Área
1-4 Determine a área da região que é delimitada pela curva fornecida e está localizada no setor especificado.
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1-4 Determine a área da região que é delimitada pela curva fornecida e está localizada no setor especificado.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar a área da região delimitada pela curva
no intervalo de
. Isso está no conteúdo de Cálculo em Coordenadas Polares, e vamos precisar usar a fórmula da área em coordenadas polares para resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular a área em coordenadas polares. A área
de uma região delimitada por uma curva
de
até
é dada por:
Essa fórmula vem do fato de que em coordenadas polares, um pequeno setor de área é aproximadamente
.
Passo 3
No nosso caso, a curva é
, então vamos substituir na fórmula:
Passo 4
Simplificando a expressão dentro da integral:
Então, agora a integral fica:
Passo 5
Observamos que o 2 dentro da integral e o
fora se cancelam:
Passo 6
Agora, vamos resolver a integral de
em relação a
:
Onde
é a constante de integração, que não precisamos considerar aqui.
Passo 7
Aplicando os limites de integração de 0 a
:
Resposta
A área da região delimitada pela curva
no intervalo
é
.
Exercícios relacionados
Nos Exercícios 1-12, calcule a integral iterada.
Revisão de derivada. Calcule
nos seguintes casos:
c)
c)
Se
tem uma primeira derivada contínua para
e se o ponto
traça a curva
exatamente uma vez conforme
vai de
a
, então o comprimento da curva é:
Encontrando comprimentos de curvas polares
Encontre os comprimentos das curvas nos Exercícios 21-28.
21. A espiral .
21. A espiral
Equações polares para cartesianas
Substitua as equações polares nos Exercícios 27-52 por equações cartesianas equivalentes. Em seguida, descreva ou identifique o gráfico.
27.
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