Nos Exercícios 1-12, calcule a integral iterada.
  1. integral1^2 integral0^4 2 x y d y d x

Passo 1

Vamos resolver o exercício de calcular a integral iterada . Esse tipo de integral pertence ao cálculo integral, especificamente às integrais duplas, onde a gente integra uma função sobre uma região no plano. Para resolver, vamos precisar integrar primeiro em relação a e depois em relação a .

Passo 2

Primeiro, vamos integrar a função integral 2xy , dy = 2x integral y , dy = 2x cdot y^22 = x y^2 em relação a , mantendo como uma constante. A integral de em relação a é:

Passo 3

Agora, vamos avaliar essa antiderivada entre os limites de x y^2 g|0^4 = x (4)^2 - x (0)^2 = 16x - 0 = 16x e :

Passo 4

Em seguida, vamos integrar integral1^2 16x , dx = 16 integral x , dx = 16 cdot x^22 = 8x^2 em relação a de 1 a 2:

Passo 5

Por fim, vamos avaliar essa antiderivada entre os limites de 8x^2 g|1^2 = 8 (2)^2 - 8 (1)^2 = 32 - 8 = 24 e :

Resposta

O valor da integral iterada é 24.

Exercícios relacionados

Revisão de derivada. Calcule y' nos seguintes casos:
c) y = x^2 sen(pi x)
Encontre a derivada da função dada usando a definição. Diga quais são os domínios da função e da derivada.
f) f(x) = 1 / raiz(2 x - 1).
  1. integral duplaR e^x-y d A, R: 0 <= x <= ln 2, 0 <= y <= ln 2
  2. integral duplaR x y e^x y^2 d A, R: 0 <= x <= 2, 0 <= y <= 1
  3. integral duplaR x y^3x^2+1 d A, R: 0 <= x <= 1, 0 <= y <= 2
  4. integral duplaR yx^2 y^2+1 d A, R: 0 <= x <= 1, 0 <= y <= 1
A=integrala^b 12 r^2 d theta
Área
1-4 Determine a área da região que é delimitada pela curva fornecida e está localizada no setor especificado.
  1. r=raiz2 theta, 0 <= theta <= pi / 2
Se r=f(theta) tem uma primeira derivada contínua para alpha <= theta <= beta e se o ponto P(r, theta) traça a curva r=f(theta) exatamente uma vez conforme theta vai de alpha a beta, então o comprimento da curva é:
L=integralalpha^beta raizr^2+(d rd theta)^2 d theta

Encontrando comprimentos de curvas polares

Encontre os comprimentos das curvas nos Exercícios 21-28.
21. A espiral r=theta^2, 0 <= theta <= raiz5.