Se r=f(theta) tem uma primeira derivada contínua para alpha <= theta <= beta e se o ponto P(r, theta) traça a curva r=f(theta) exatamente uma vez conforme theta vai de alpha a beta, então o comprimento da curva é:
L=integralalpha^beta raizr^2+(d rd theta)^2 d theta

Encontrando comprimentos de curvas polares

Encontre os comprimentos das curvas nos Exercícios 21-28.
21. A espiral r=theta^2, 0 <= theta <= raiz5.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício 21 que pede para encontrar o comprimento da curva da espiral definida por L = integralalpha^beta raizr^2 + (drdtheta)^2 , dtheta no intervalo .
Aqui, estamos lidando com comprimento de curvas em coordenadas polares. Para calcular isso, vamos usar a fórmula:
No nosso caso, , e . Vamos precisar calcular e então integrar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada de drdtheta = ddtheta (theta^2) = 2theta em relação a :
Então, temos .

Passo 3

Agora, vamos substituir L = integral0^raiz5 raiz(theta^2)^2 + (2theta)^2 , dtheta = integral0^raiz5 raiztheta^4 + 4theta^2 , dtheta e na fórmula do comprimento da curva:

Passo 4

Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
raiztheta^4 + 4theta^2 = theta raiztheta^2 + 4
Então, agora a integral fica:
L = integral0^raiz5 theta raiztheta^2 + 4 , dtheta

Passo 5

Para resolver essa integral, vamos fazer uma substituição:
Seja dudtheta = 2theta Rightarrow dtheta = du2theta , então:
L = integral theta raizu cdot du2theta = 12 integral raizu , du
Substituindo na integral:

Passo 6

Agora, vamos calcular a integral:
12 integral raizu , du = 12 cdot 23 u^3/2 = 13 u^3/2
Voltando para L = 13 (theta^2 + 4)^3/2 g|0^raiz5 :

Passo 7

Vamos calcular os limites da integral:
Para (raiz5)^2 + 4 = 5 + 4 = 9 Rightarrow 9^3/2 = 27 :
0^2 + 4 = 4 Rightarrow 4^3/2 = 8
Para L = 13 (27 - 8) = 193 :
Então:

Resposta

O comprimento da curva da espiral no intervalo é unidades.

Exercícios relacionados

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  2. integral duplaR x y e^x y^2 d A, R: 0 <= x <= 2, 0 <= y <= 1
  3. integral duplaR x y^3x^2+1 d A, R: 0 <= x <= 1, 0 <= y <= 2
  4. integral duplaR yx^2 y^2+1 d A, R: 0 <= x <= 1, 0 <= y <= 1
A=integrala^b 12 r^2 d theta
Área
1-4 Determine a área da região que é delimitada pela curva fornecida e está localizada no setor especificado.
  1. r=raiz2 theta, 0 <= theta <= pi / 2
Nos Exercícios 1-12, calcule a integral iterada.
  1. integral1^2 integral0^4 2 x y d y d x
x = r cos theta, y = r sen theta, r^2 = x^2 + y^2, tg theta = y/x

Equações polares para cartesianas

Substitua as equações polares nos Exercícios 27-52 por equações cartesianas equivalentes. Em seguida, descreva ou identifique o gráfico.
27. r cos(theta) = 2
Use coordenadas polares para calcular os limites abaixo, caso eles existam :
lim (x, y) (0,0) x^2+y^2sin (x^2+y^2)