A posição de um objeto que se move ao longo de um eixo
é dada por
, em que
está em metros e
em segundos. Determine a posição do objeto para os seguintes valores de t: (a)
, (b)
, ©
. (d) Qual é o deslocamento do objeto entre
0,0 s e
? (e) Qual é a velocidade média no intervalo de tempo de
s à
? ( f ) Obtenha
e
do movimento.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função que dá a posição de um objeto ao longo do tempo:
. Precisamos descobrir a posição desse objeto em alguns instantes específicos, calcular o deslocamento entre dois tempos, a velocidade média nesse intervalo e encontrar as funções de velocidade e aceleração. Para isso, vamos usar conceitos de cinemática, como substituição de valores na função posição, cálculo de deslocamento, velocidade média e derivadas para achar velocidade e aceleração.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a posição do objeto em
. Isso significa substituir
por 1 na função
:
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação passo a passo:
Passo 4
Vamos fazer o mesmo para
:
Passo 5
Agora para
:
Passo 6
Para calcular o deslocamento entre
e
, primeiro encontramos as posições nesses instantes:
O deslocamento é a diferença entre as posições finais e iniciais:
Passo 7
Para encontrar a velocidade média no intervalo de
a
, usamos a fórmula:
Passo 8
Agora, vamos obter as funções de velocidade
e aceleração
. Sabemos que velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo, e aceleração é a derivada da velocidade.
Primeiro, derivamos
:
Agora, derivamos
para achar
:
Resposta
(a)
(b)
©
(d) O deslocamento entre
e
é
(e) A velocidade média no intervalo de
a
é
(f) As funções de velocidade e aceleração são: