A posição de um objeto que se move ao longo de um eixo X é dada por X(t)=2,0 t-4,5 t^2+ 0,5 t^3, em que X está em metros e t em segundos. Determine a posição do objeto para os seguintes valores de t: (a) 1,0 s, (b) 2,0 s, © 3,0 s. (d) Qual é o deslocamento do objeto entre t= 0,0 s e t=4,0 s ? (e) Qual é a velocidade média no intervalo de tempo de t=0,0 s à t=4,0 s ? ( f ) Obtenha V(t) e A(t) do movimento.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função que dá a posição de um objeto ao longo do tempo: . Precisamos descobrir a posição desse objeto em alguns instantes específicos, calcular o deslocamento entre dois tempos, a velocidade média nesse intervalo e encontrar as funções de velocidade e aceleração. Para isso, vamos usar conceitos de cinemática, como substituição de valores na função posição, cálculo de deslocamento, velocidade média e derivadas para achar velocidade e aceleração.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a posição do objeto em X(1) = 2,0 times 1 - 4,5 times (1)^2 + 0,5 times (1)^3 . Isso significa substituir por 1 na função :

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação passo a passo:
X(1) = 2,0 - 4,5 + 0,5
X(1) = (2,0 - 4,5) + 0,5
X(1) = -2,5 + 0,5
X(1) = -2,0, m

Passo 4

Vamos fazer o mesmo para X(2) = 2,0 times 2 - 4,5 times (2)^2 + 0,5 times (2)^3 :
X(2) = 4,0 - 4,5 times 4 + 0,5 times 8
X(2) = 4,0 - 18,0 + 4,0
X(2) = -10,0, m

Passo 5

Agora para X(3) = 2,0 times 3 - 4,5 times (3)^2 + 0,5 times (3)^3 :
X(3) = 6,0 - 4,5 times 9 + 0,5 times 27
X(3) = 6,0 - 40,5 + 13,5
X(3) = -21,0, m

Passo 6

Para calcular o deslocamento entre X(0) = 2,0 times 0 - 4,5 times (0)^2 + 0,5 times (0)^3 = 0, m e X(4) = 2,0 times 4 - 4,5 times (4)^2 + 0,5 times (4)^3 , primeiro encontramos as posições nesses instantes:
X(4) = 8,0 - 4,5 times 16 + 0,5 times 64
X(4) = 8,0 - 72,0 + 32,0
X(4) = -32,0, m
Deslocamento = X(4) - X(0) = -32,0 - 0 = -32,0, m
O deslocamento é a diferença entre as posições finais e iniciais:

Passo 7

Para encontrar a velocidade média no intervalo de Velocidade Média = DeslocamentoDe a , usamos a fórmula:
é

Passo 8

Agora, vamos obter as funções de velocidade V(t) = dXdt = ddt(2,0, t - 4,5, t^2 + 0,5, t^3) e aceleração V(t) = 2,0 - 9,0, t + 1,5, t^2 . Sabemos que velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo, e aceleração é a derivada da velocidade.
Primeiro, derivamos A(t) = dVdt = ddt(2,0 - 9,0, t + 1,5, t^2) :
A(t) = 0 - 9,0 + 3,0, t
A(t) = -9,0 + 3,0, t
Agora, derivamos para achar :

Resposta

(a) V(t) = 2,0 - 9,0, t + 1,5, t^2
(b) A(t) = -9,0 + 3,0, t
©
(d) O deslocamento entre e é
(e) A velocidade média no intervalo de a é
(f) As funções de velocidade e aceleração são:

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