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Seja
contínua por pedaços. Estendemos
no intervalo (
de modo que ela seja simétrica em torno de
(faça um esboço), o que matematicamente significa que
para todo
. Tome agora a extensão ímpar e
periódica desta função. Mostre que a função resultante tem série de Fourier em senos dada por:
Seja
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função
definida no intervalo
que é contínua por partes. A gente precisa estender essa função para o intervalo
de forma que ela seja simétrica em torno de
, ou seja,
para todo
. Depois, vamos fazer uma extensão ímpar dessa função e torná-la periódica com período
. O objetivo final é mostrar que essa função resultante pode ser representada por uma série de Fourier que usa apenas funções seno com determinados coeficientes.
Para resolver isso, vamos precisar entender os conceitos de extensão simétrica e ímpar, periodicidade de funções, e como construir séries de Fourier usando funções seno. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a extensão simétrica da função
no intervalo
. A condição
garante que a função seja simétrica em torno de
. Isso significa que o gráfico de
de
para
é um espelho do gráfico de
de
para
.
Por exemplo, se
cresce de
a
, então de
a
, ela vai decrescer de
a
, mantendo a simetria.
Passo 3
Agora, vamos fazer a extensão ímpar dessa função. A extensão ímpar consiste em refletir a função em torno do eixo
, ou seja, para
, definimos
. No nosso caso, como temos o intervalo
, a extensão ímpar vai estender a função para
de forma que
para
.
Depois dessa extensão, para tornar a função periódica com período
, repetimos esse padrão a cada
. Assim, a função completa está definida em todo o eixo real com período
.
Passo 4
Com a função estendida de forma ímpar e periódica, podemos representar essa função usando uma série de Fourier que envolve apenas termos de seno. Isso acontece porque as funções ímpares são adequadamente representadas por senos, já que os senos são funções ímpares.
A série de Fourier para uma função ímpar e periódica de período
tem a forma:
Aqui, os coeficientes
são calculados de acordo com a fórmula:
Passo 5
No entanto, devido à simetria e periodicidade escolhidas, notamos que apenas os termos com índices impares (
) contribuem para a série. Isso simplifica a série de Fourier para:
Essa forma ocorre porque os termos com índices pares se cancelam devido à simetria ímpar da função.
Resposta
Portanto, mostramos que a função resultante da extensão ímpar e
periódica de
tem a série de Fourier em senos dada por: