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Seja f:[0, L] R contínua por pedaços. Estendemos f no intervalo ( L, 2 L] de modo que ela seja simétrica em torno de x=L (faça um esboço), o que matematicamente significa que f(2 L-x)=f(x) para todo x in[0, L). Tome agora a extensão ímpar e 4 L periódica desta função. Mostre que a função resultante tem série de Fourier em senos dada por:
Sf(x)=sumn=1^infty bn sen (2 n-1) pi x2 L

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função definida no intervalo que é contínua por partes. A gente precisa estender essa função para o intervalo de forma que ela seja simétrica em torno de , ou seja, para todo . Depois, vamos fazer uma extensão ímpar dessa função e torná-la periódica com período . O objetivo final é mostrar que essa função resultante pode ser representada por uma série de Fourier que usa apenas funções seno com determinados coeficientes.
Para resolver isso, vamos precisar entender os conceitos de extensão simétrica e ímpar, periodicidade de funções, e como construir séries de Fourier usando funções seno. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a extensão simétrica da função no intervalo . A condição garante que a função seja simétrica em torno de . Isso significa que o gráfico de de para é um espelho do gráfico de de para .
Por exemplo, se cresce de a , então de a , ela vai decrescer de a , mantendo a simetria.

Passo 3

Agora, vamos fazer a extensão ímpar dessa função. A extensão ímpar consiste em refletir a função em torno do eixo , ou seja, para , definimos . No nosso caso, como temos o intervalo , a extensão ímpar vai estender a função para de forma que para .
Depois dessa extensão, para tornar a função periódica com período , repetimos esse padrão a cada . Assim, a função completa está definida em todo o eixo real com período .

Passo 4

Com a função estendida de forma ímpar e periódica, podemos representar essa função usando uma série de Fourier que envolve apenas termos de seno. Isso acontece porque as funções ímpares são adequadamente representadas por senos, já que os senos são funções ímpares.
A série de Fourier para uma função ímpar e periódica de período Sf(x) = sumn=1^infty bn sin(npi x2L) tem a forma:
bn = 12L integral-2L^2L f(x) sin(npi x2L) dx
Aqui, os coeficientes são calculados de acordo com a fórmula:

Passo 5

No entanto, devido à simetria e periodicidade escolhidas, notamos que apenas os termos com índices impares ( Sf(x) = sumn=1^infty bn sin((2n - 1)pi x2L) ) contribuem para a série. Isso simplifica a série de Fourier para:
Essa forma ocorre porque os termos com índices pares se cancelam devido à simetria ímpar da função.

Resposta

Portanto, mostramos que a função resultante da extensão ímpar e Sf(x) = sumn=1^infty bn sin( (2n-1) pi x2 L ) periódica de tem a série de Fourier em senos dada por:

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