Calcule as integrais abaixo.
a)
.(A mais trivial de todas!).
a)
Passo 1
Vamos resolver o exercício que nos pede para calcular a integral definida de .
Conteúdo da matéria: Integração de funções, especificamente a integração de polinômios multiplicados por funções trigonométricas.
O que vamos precisar para resolver:
- Conhecer as propriedades de funções pares e ímpares.
- Entender como essas propriedades afetam a integração em intervalos simétricos.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar as funções envolvidas na integral para simplificar nossa tarefa. Temos um polinômio
e a função trigonométrica .
Funções Pares e Ímpares:
- Uma função
é par se . - Uma função
é ímpar se .
Vamos verificar o tipo de cada função:
-
Polinômio
: - Todos os termos de
possuem expoentes pares ( , , , ). - Portanto,
é uma função par.
- Todos os termos de
-
Função :
- A função seno é ímpar, e multiplicar por uma constante não altera essa propriedade.
- Assim, é uma função ímpar.
Passo 3
Agora, vamos considerar o produto dessas duas funções na integral:
Propriedades do Produto de Funções:
- O produto de uma função par e uma função ímpar é uma função ímpar.
Portanto, é uma função ímpar.
Passo 4
Sabemos que a integral de uma função ímpar em um intervalo simétrico em torno de zero é igual a zero. Ou seja, se
é ímpar, então:
Isso ocorre porque as áreas positivas e negativas se cancelam no intervalo simétrico.
Passo 5
Aplicando essa propriedade à nossa integral:
Resposta
A integral é igual a 0.
Exercícios relacionados
Verifique se as funções abaixo são pares ou ímpares ou não são nem pares nem ímpares:
a)
a)
17
Seja contínua por pedaços. Estendemos
no intervalo (
de modo que ela seja simétrica em torno de
(faça um esboço), o que matematicamente significa que
para todo
. Tome agora a extensão ímpar e
periódica desta função. Mostre que a função resultante tem série de Fourier em senos dada por:
Seja
Verifique se as funções abaixo são contínuas por pedaços e se forem calcule
para
a)
a)
Supondo que as funções abaixo sejam
- periódicas, calcule a série de Fourier de cada uma delas :
a)
a)