Calcule as integrais abaixo.
a) .(A mais trivial de todas!).

Passo 1

Vamos resolver o exercício que nos pede para calcular a integral definida de .
Conteúdo da matéria: Integração de funções, especificamente a integração de polinômios multiplicados por funções trigonométricas.
O que vamos precisar para resolver:
  • Conhecer as propriedades de funções pares e ímpares.
  • Entender como essas propriedades afetam a integração em intervalos simétricos.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar as funções envolvidas na integral para simplificar nossa tarefa. Temos um polinômio e a função trigonométrica .
Funções Pares e Ímpares:
  • Uma função é par se .
  • Uma função é ímpar se .
Vamos verificar o tipo de cada função:
  1. Polinômio :
    • Todos os termos de possuem expoentes pares ( , , , ).
    • Portanto, é uma função par.
  2. Função :
    • A função seno é ímpar, e multiplicar por uma constante não altera essa propriedade.
    • Assim, é uma função ímpar.

Passo 3

Agora, vamos considerar o produto dessas duas funções na integral:
Propriedades do Produto de Funções:
  • O produto de uma função par e uma função ímpar é uma função ímpar.
Portanto, é uma função ímpar.

Passo 4

Sabemos que a integral de uma função ímpar em um intervalo simétrico em torno de zero é igual a zero. Ou seja, se é ímpar, então:
Isso ocorre porque as áreas positivas e negativas se cancelam no intervalo simétrico.

Passo 5

Aplicando essa propriedade à nossa integral:

Resposta

A integral é igual a 0.

Exercícios relacionados

Verifique se as funções abaixo são pares ou ímpares ou não são nem pares nem ímpares:
a)
17
Seja contínua por pedaços. Estendemos no intervalo ( de modo que ela seja simétrica em torno de (faça um esboço), o que matematicamente significa que para todo . Tome agora a extensão ímpar e periódica desta função. Mostre que a função resultante tem série de Fourier em senos dada por:
Verifique se as funções abaixo são contínuas por pedaços e se forem calcule para
a)
Supondo que as funções abaixo sejam - periódicas, calcule a série de Fourier de cada uma delas :
a)