Supondo que as funções abaixo sejam
- periódicas, calcule a série de Fourier de cada uma delas :
a)
se
a)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a função definida no intervalo
e queremos encontrar a série de Fourier dessa função. Para resolver isso, vamos precisar saber sobre séries de Fourier, que são usadas para expressar funções periódicas como somas de senos e cossenos. Vamos precisar calcular os coeficientes de Fourier para
.
Passo 2
A série de Fourier para uma função periódica de período
é dada por:
onde:
Como é uma função ímpar (porque
), sabemos que os coeficientes
e
serão zero. Portanto, só precisamos calcular os coeficientes
.
Passo 3
Vamos calcular
:
Como a função é ímpar, podemos simplificar a integral para:
Agora, usamos a identidade trigonométrica:
Aplicando isso na integral:
Simplificando:
Passo 4
Agora, precisamos resolver as integrais do tipo
. Para isso, usamos a técnica de integração por partes, onde:
Escolhemos:
Aplicando a integração por partes:
Aplicando os limites de 0 a
:
Passo 5
Voltando aos coeficientes
:
Observando que e
, simplificamos:
Passo 6
Simplificando ainda mais:
Passo 7
Finalmente, a série de Fourier de é:
onde
é dado por:
Resposta
A série de Fourier da função no intervalo
é dada por:
Exercícios relacionados
Escreva a fórmula para os coeficientes de Fourier, bem como a série de Fourier, para o caso em que
é contínua por pedaços em
e
a) é 10 - periódica, par e contínua por pedaços em
.
a)
Verifique se as funções abaixo são pares ou ímpares ou não são nem pares nem ímpares:
a)
a)
Se
tem série de Fourier dada por
quais os valores de:
a)
a)
17
Seja contínua por pedaços. Estendemos
no intervalo (
de modo que ela seja simétrica em torno de
(faça um esboço), o que matematicamente significa que
para todo
. Tome agora a extensão ímpar e
periódica desta função. Mostre que a função resultante tem série de Fourier em senos dada por:
Seja