Supondo que as funções abaixo sejam 2 pi - periódicas, calcule a série de Fourier de cada uma delas :
a) f(x) = x sen(x) se x in ]-pi, pi] m) f(x) = cos^2(x)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a função definida no intervalo e queremos encontrar a série de Fourier dessa função. Para resolver isso, vamos precisar saber sobre séries de Fourier, que são usadas para expressar funções periódicas como somas de senos e cossenos. Vamos precisar calcular os coeficientes de Fourier para .

Passo 2

A série de Fourier para uma função periódica de período é dada por:
onde:
Como é uma função ímpar (porque ), sabemos que os coeficientes e serão zero. Portanto, só precisamos calcular os coeficientes .

Passo 3

Vamos calcular :
Como a função é ímpar, podemos simplificar a integral para:
Agora, usamos a identidade trigonométrica:
Aplicando isso na integral:
Simplificando:

Passo 4

Agora, precisamos resolver as integrais do tipo . Para isso, usamos a técnica de integração por partes, onde:
Escolhemos:
Aplicando a integração por partes:
Aplicando os limites de 0 a :

Passo 5

Voltando aos coeficientes :
Observando que e , simplificamos:

Passo 6

Simplificando ainda mais:

Passo 7

Finalmente, a série de Fourier de é:
onde é dado por:

Resposta

A série de Fourier da função no intervalo é dada por:

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