Se f(x) tem série de Fourier dada por 2+sumn=1^infty 1n^2 cos 2 n x+1n^2+1 sen(2 n+1) x quais os valores de:
a) integral-pi^pi f(x) cos 20 x d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de de a . A função está expressa como uma série de Fourier, que é uma forma de representar funções periódicas usando senos e cossenos. Para resolver isso, vamos usar propriedades das séries de Fourier e da ortogonalidade dos senos e cossenos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a integral de uma série de Fourier multiplicada por uma função trigonométrica pode ser simplificada usando a ortogonalidade dessas funções. Isso significa que, ao integrar, apenas os termos que têm a mesma frequência vão contribuir para o resultado final.

Passo 3

Vamos analisar a série de Fourier de f(x) = 2 + sumn=1^infty 1n^2 cos 2 n x + 1n^2+1 sen(2 n+1) x :
Quando multiplicamos integral-pi^pi 2 cos 20x , dx por sumn=1^infty 1n^2 integral-pi^pi cos 2n x cdot cos 20x , dx e integramos de 110^2 integral-pi^pi cos 20x cdot cos 20x , dx = 1100 cdot pi a sumn=1^infty 1n^2+1 integral-pi^pi sen(2n+1)x cdot cos 20x , dx , vamos considerar cada termo separadamente:
  1. Termo constante ( ):
Como o cosseno integra a zero em um período completo quando multiplicado por uma constante, esse termo será zero.
  1. Termos com :
A integral de será zero, a menos que , ou seja, . Portanto, apenas o termo onde contribui:
  1. Termos com :
A integral de seno multiplicado por cosseno também será zero devido à ortogonalidade das funções, então esses termos não contribuem.

Resposta

Assim, a única contribuição vem do termo onde pi100 . Portanto, a integral vale:

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