Se
tem série de Fourier dada por
quais os valores de:
a)
a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de
de
a
. A função
está expressa como uma série de Fourier, que é uma forma de representar funções periódicas usando senos e cossenos. Para resolver isso, vamos usar propriedades das séries de Fourier e da ortogonalidade dos senos e cossenos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a integral de uma série de Fourier multiplicada por uma função trigonométrica pode ser simplificada usando a ortogonalidade dessas funções. Isso significa que, ao integrar, apenas os termos que têm a mesma frequência vão contribuir para o resultado final.
Passo 3
Vamos analisar a série de Fourier de
:
Quando multiplicamos
por
e integramos de
a
, vamos considerar cada termo separadamente:
- Termo constante (
):
Como o cosseno integra a zero em um período completo quando multiplicado por uma constante, esse termo será zero.
- Termos com
:
A integral de
será zero, a menos que
, ou seja,
. Portanto, apenas o termo onde
contribui:
- Termos com :
A integral de seno multiplicado por cosseno também será zero devido à ortogonalidade das funções, então esses termos não contribuem.
Resposta
Assim, a única contribuição vem do termo onde
. Portanto, a integral vale: