Se tem série de Fourier dada por quais os valores de:
a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de de a . A função está expressa como uma série de Fourier, que é uma forma de representar funções periódicas usando senos e cossenos. Para resolver isso, vamos usar propriedades das séries de Fourier e da ortogonalidade dos senos e cossenos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a integral de uma série de Fourier multiplicada por uma função trigonométrica pode ser simplificada usando a ortogonalidade dessas funções. Isso significa que, ao integrar, apenas os termos que têm a mesma frequência vão contribuir para o resultado final.
Passo 3
Vamos analisar a série de Fourier de :
Quando multiplicamos por e integramos de a , vamos considerar cada termo separadamente:
1. **Termo constante ( )**:
Como o cosseno integra a zero em um período completo quando multiplicado por uma constante, esse termo será zero.
2. **Termos com **:
A integral de será zero, a menos que , ou seja, . Portanto, apenas o termo onde contribui:
3. **Termos com **:
A integral de seno multiplicado por cosseno também será zero devido à ortogonalidade das funções, então esses termos não contribuem.
Resposta
Assim, a única contribuição vem do termo onde . Portanto, a integral vale:
Exercícios relacionados
Supondo que as funções abaixo sejam - periódicas, calcule a série de Fourier de cada uma delas :
a) se
Escreva a fórmula para os coeficientes de Fourier, bem como a série de Fourier, para o caso em que é contínua por pedaços em e
a) é 10 - periódica, par e contínua por pedaços em .
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Seja contínua por pedaços. Estendemos no intervalo ( de modo que ela seja simétrica em torno de (faça um esboço), o que matematicamente significa que para todo . Tome agora a extensão ímpar e periódica desta função. Mostre que a função resultante tem série de Fourier em senos dada por:
Verifique se as funções abaixo são pares ou ímpares ou não são nem pares nem ímpares:
a)