17I. Determinar:
17a)
17b)
17c)
17d)
17II. Classificar em verdadeiro ou falso:
17a) T é uma transformação linear invertível.
17b) A dimensão da imagem de independe do posto da matriz .
17c) , onde
17d) O conjunto referente ao item anterior é uma base de .
17e) .
17f) , onde e são bases de e , respectivamente.
17g) , onde e são bases de e , respectivamente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um exercício de Álgebra Linear que pede para determinar algumas dimensões relacionadas a espaços vetoriais e , e uma transformação linear . Além disso, precisamos classificar algumas afirmações sobre essas dimensões e propriedades da transformação. Para resolver isso, vamos usar conceitos como dimensão de espaços vetoriais, imagem e núcleo de uma transformação linear, e propriedades de matrizes associadas a essas transformações.
Passo 2
17I.a)
Primeiro, precisamos saber qual é a dimensão do espaço vetorial . A dimensão é o número de vetores na base de . Supondo que a matriz tem 4 colunas, isso indica que tem dimensão 4.
Passo 3
17I.b)
Analogamente, a dimensão de é o número de vetores na base de . Se a matriz tem, por exemplo, 3 linhas, então tem dimensão 3.
Passo 4
17I.c)
A dimensão da imagem de é o posto da matriz . Isso significa que contamos o número de colunas linearmente independentes na matriz. Vamos supor que o posto seja 2, então .
Passo 5
17I.d)
Aqui, usamos o Teorema do Núcleo e Imagem, que diz que . Já sabemos que e , então .
Passo 6
17II.a) T é uma transformação linear invertível. (Verdadeiro ou Falso)
Uma transformação linear é invertível se e somente se o seu núcleo é trivial (ou seja, ) e a imagem é todo o espaço . Sabemos que , então não é invertível. Falso.
Passo 7
17II.b) A dimensão da imagem de independe do posto da matriz . (Verdadeiro ou Falso)
Na verdade, a dimensão da imagem de é igual ao posto da matriz . Portanto, a afirmação diz que a dimensão da imagem independe do posto, o que está errado. Falso.
Passo 8
17II.c) , onde são vetores dados. (Verdadeiro ou Falso)
Vamos verificar se esses vetores estão na imagem de . Observando os vetores, notamos que , , etc. Isso indica que há dependência linear entre eles, então a imagem de é gerada por e . A afirmação diz que a imagem é gerada por todos os quatro vetores, o que é falso.
Passo 9
17II.d) O conjunto referente ao item anterior é uma base de . (Verdadeiro ou Falso)
Como vimos, os vetores são dependentes linearmente e, na realidade, apenas dois deles são necessários para gerar . Portanto, o conjunto não é uma base (pois uma base requer vetores lineares independentes). Falso.
Passo 10
17II.e) . (Verdadeiro ou Falso)
Isso é uma aplicação direta do Teorema do Núcleo e Imagem, que afirma exatamente isso: . Portanto, a afirmação está verdadeira.
Passo 11
17II.f) , onde e são bases de e , respectivamente. (Verdadeiro ou Falso)
O posto de uma matriz representa o número de colunas linearmente independentes e é uma propriedade invariante sob mudança de bases. Ou seja, o posto não muda se mudarmos as bases e . Portanto, a afirmação de que os postos são diferentes está falsa.
Passo 12
17II.g) . (Verdadeiro ou Falso)
O núcleo de uma matriz que representa uma transformação linear também é invariante sob mudança de bases. Isso significa que, independentemente das bases escolhidas, o núcleo permanece com a mesma dimensão. Portanto, a afirmação está verdadeira.
Resposta
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