Considere A uma matriz de ordem n. Determine se os conjuntos dados são ou não espaços vetoriais.
B in Mn times n mid A B neq B A

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para a gente determinar se o conjunto de matrizes de ordem que não comutam com uma matriz fixa é ou não um espaço vetorial. Isso está dentro do conteúdo de Álgebra Linear, especificamente sobre espaços vetoriais e matrizes. Para resolver, vamos precisar lembrar quais são as propriedades que definem um espaço vetorial e verificar se esse conjunto as satisfaz.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para ser um espaço vetorial, o conjunto precisa satisfazer algumas propriedades básicas, como:
  1. Fechamento sob adição: Se e estão no conjunto, então também deve estar.
  2. Fechamento sob multiplicação por escalar: Se está no conjunto e é um número (escalar), então também deve estar no conjunto.
Vamos verificar essas propriedades para o conjunto .

Passo 3

Fechamento sob adição: Suponha que temos duas matrizes A(B1 + B2) = AB1 + AB2 e (B1 + B2)A = B1A + B2A que não comutam com , ou seja, e . Queremos ver se .
Calculando:
Mesmo que e , a soma pode resultar em , o que significa que poderia comutar com . Portanto, o conjunto não é fechado sob adição.

Passo 4

Fechamento sob multiplicação por escalar: Se pegarmos uma matriz A(cB) = cAB que não comuta com (cB)A = cBA e multiplicarmos por um escalar , temos:
Se , multiplicar ambos por mantém a desigualdade . Então, o conjunto é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 5

Mesmo que o conjunto seja fechado sob multiplicação por escalar, como ele não é fechado sob adição, ele não satisfaz todas as propriedades necessárias para ser um espaço vetorial.

Resposta

O conjunto não é um espaço vetorial.

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