Considere A uma matriz de ordem n. Determine se os conjuntos dados são ou não espaços vetoriais.
Passo 1
Vamos lá! O exercício pede para a gente determinar se o conjunto de matrizes
de ordem
que não comutam com uma matriz fixa
é ou não um espaço vetorial. Isso está dentro do conteúdo de Álgebra Linear, especificamente sobre espaços vetoriais e matrizes. Para resolver, vamos precisar lembrar quais são as propriedades que definem um espaço vetorial e verificar se esse conjunto as satisfaz.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para ser um espaço vetorial, o conjunto precisa satisfazer algumas propriedades básicas, como:
- Fechamento sob adição: Se
e estão no conjunto, então também deve estar. - Fechamento sob multiplicação por escalar: Se
está no conjunto e é um número (escalar), então também deve estar no conjunto.
Vamos verificar essas propriedades para o conjunto
.
Passo 3
Fechamento sob adição: Suponha que temos duas matrizes
e
que não comutam com
, ou seja,
e
. Queremos ver se
.
Calculando:
Mesmo que
e
, a soma pode resultar em
, o que significa que
poderia comutar com
. Portanto, o conjunto não é fechado sob adição.
Passo 4
Fechamento sob multiplicação por escalar: Se pegarmos uma matriz
que não comuta com
e multiplicarmos por um escalar
, temos:
Se
, multiplicar ambos por
mantém a desigualdade
. Então, o conjunto é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 5
Mesmo que o conjunto seja fechado sob multiplicação por escalar, como ele não é fechado sob adição, ele não satisfaz todas as propriedades necessárias para ser um espaço vetorial.
Resposta
O conjunto não é um espaço vetorial.