Considere A uma matriz de ordem n. Determine se os conjuntos dados são ou não espaços vetoriais.
Passo 1
Vamos lá! O exercício pede para a gente determinar se o conjunto de matrizes de ordem que não comutam com uma matriz fixa é ou não um espaço vetorial. Isso está dentro do conteúdo de Álgebra Linear, especificamente sobre espaços vetoriais e matrizes. Para resolver, vamos precisar lembrar quais são as propriedades que definem um espaço vetorial e verificar se esse conjunto as satisfaz.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para ser um espaço vetorial, o conjunto precisa satisfazer algumas propriedades básicas, como:
Fechamento sob adição: Se e estão no conjunto, então também deve estar.
Fechamento sob multiplicação por escalar: Se está no conjunto e é um número (escalar), então também deve estar no conjunto.
Vamos verificar essas propriedades para o conjunto .
Passo 3
Fechamento sob adição: Suponha que temos duas matrizes e que não comutam com , ou seja, e . Queremos ver se .
Calculando:
Mesmo que e , a soma pode resultar em , o que significa que poderia comutar com . Portanto, o conjunto não é fechado sob adição.
Passo 4
Fechamento sob multiplicação por escalar: Se pegarmos uma matriz que não comuta com e multiplicarmos por um escalar , temos:
Se , multiplicar ambos por mantém a desigualdade . Então, o conjunto é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 5
Mesmo que o conjunto seja fechado sob multiplicação por escalar, como ele não é fechado sob adição, ele não satisfaz todas as propriedades necessárias para ser um espaço vetorial.