Considere A uma matriz de ordem n. Determine se os conjuntos dados são ou não espaços vetoriais.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente verificar se o conjunto de todas as matrizes
de ordem
que, quando multiplicadas pela matriz
, dão zero, é ou não um espaço vetorial. Basicamente, estamos trabalhando com conceitos de álgebra linear, especificamente com espaços vetoriais e subespaços vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial é um conjunto de vetores que satisfaz certas propriedades, como a existência de uma operação de adição e de multiplicação por escalar que seguem regras específicas.
No nosso caso, estamos lidando com matrizes, que podem ser vistas como vetores em um espaço vetorial de matrizes
.
Passo 3
Para determinar se o conjunto
é um espaço vetorial, precisamos verificar se ele satisfaz as três propriedades fundamentais de um subespaço vetorial:
- Contém o vetor zero: A matriz zero
pertence ao conjunto? - Fechamento sob adição: Se
e estão no conjunto, então também está? - Fechamento sob multiplicação por escalar: Se
está no conjunto e é um escalar, então também está?
Passo 4
1. Contém o vetor zero:
Vamos verificar se a matriz zero pertence ao conjunto.
Multiplicando a matriz zero por
:
Então, a matriz zero satisfaz
. Portanto, o vetor zero está no conjunto.
2. Fechamento sob adição:
Sejam
e
duas matrizes no conjunto, ou seja,
e
.
Vamos somar essas matrizes:
Assim,
também pertence ao conjunto.
3. Fechamento sob multiplicação por escalar:
Seja
uma matriz no conjunto, ou seja,
, e
um escalar.
Multiplicando
por
:
Portanto,
também pertence ao conjunto.
Resposta
Sim, o conjunto
é um espaço vetorial, pois satisfaz todas as propriedades necessárias de conter o vetor zero, ser fechado sob adição e fechamento sob multiplicação por escalar.