Considere A uma matriz de ordem n. Determine se os conjuntos dados são ou não espaços vetoriais.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente verificar se o conjunto de todas as matrizes de ordem que, quando multiplicadas pela matriz , dão zero, é ou não um espaço vetorial. Basicamente, estamos trabalhando com conceitos de álgebra linear, especificamente com espaços vetoriais e subespaços vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial é um conjunto de vetores que satisfaz certas propriedades, como a existência de uma operação de adição e de multiplicação por escalar que seguem regras específicas.
No nosso caso, estamos lidando com matrizes, que podem ser vistas como vetores em um espaço vetorial de matrizes .
Passo 3
Para determinar se o conjunto é um espaço vetorial, precisamos verificar se ele satisfaz as três propriedades fundamentais de um subespaço vetorial:
Contém o vetor zero: A matriz zero pertence ao conjunto?
Fechamento sob adição: Se e estão no conjunto, então também está?
Fechamento sob multiplicação por escalar: Se está no conjunto e é um escalar, então também está?
Passo 4
1. Contém o vetor zero:
Vamos verificar se a matriz zero pertence ao conjunto.
Multiplicando a matriz zero por :
Então, a matriz zero satisfaz . Portanto, o vetor zero está no conjunto.
2. Fechamento sob adição:
Sejam e duas matrizes no conjunto, ou seja, e .
Vamos somar essas matrizes:
Assim, também pertence ao conjunto.
3. Fechamento sob multiplicação por escalar:
Seja uma matriz no conjunto, ou seja, , e um escalar.
Multiplicando por :
Portanto, também pertence ao conjunto.
Resposta
Sim, o conjunto é um espaço vetorial, pois satisfaz todas as propriedades necessárias de conter o vetor zero, ser fechado sob adição e fechamento sob multiplicação por escalar.