Considere A uma matriz de ordem n. Determine se os conjuntos dados são ou não espaços vetoriais.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente verificar se o conjunto de todas as matrizes de ordem que, quando multiplicadas pela matriz , dão zero, é ou não um espaço vetorial. Basicamente, estamos trabalhando com conceitos de álgebra linear, especificamente com espaços vetoriais e subespaços vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial é um conjunto de vetores que satisfaz certas propriedades, como a existência de uma operação de adição e de multiplicação por escalar que seguem regras específicas.
No nosso caso, estamos lidando com matrizes, que podem ser vistas como vetores em um espaço vetorial de matrizes .

Passo 3

Para determinar se o conjunto é um espaço vetorial, precisamos verificar se ele satisfaz as três propriedades fundamentais de um subespaço vetorial:
  1. Contém o vetor zero: A matriz zero pertence ao conjunto?
  2. Fechamento sob adição: Se e estão no conjunto, então também está?
  3. Fechamento sob multiplicação por escalar: Se está no conjunto e é um escalar, então também está?

Passo 4

1. Contém o vetor zero:
Vamos verificar se a matriz zero pertence ao conjunto.
Multiplicando a matriz zero por :
Então, a matriz zero satisfaz . Portanto, o vetor zero está no conjunto.
2. Fechamento sob adição:
Sejam e duas matrizes no conjunto, ou seja, e .
Vamos somar essas matrizes:
Assim, também pertence ao conjunto.
3. Fechamento sob multiplicação por escalar:
Seja uma matriz no conjunto, ou seja, , e um escalar.
Multiplicando por :
Portanto, também pertence ao conjunto.

Resposta

Sim, o conjunto é um espaço vetorial, pois satisfaz todas as propriedades necessárias de conter o vetor zero, ser fechado sob adição e fechamento sob multiplicação por escalar.

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éô
Sejam e transformações lineares tais que
Determinar:
16a)
16b)
16c)
16d)
16e)
17I. Determinar:
17a)
17b)
17c)
17d)
17II. Classificar em verdadeiro ou falso:
17a) T é uma transformação linear invertível.
17b) A dimensão da imagem de independe do posto da matriz .
17c) , onde
17d) O conjunto referente ao item anterior é uma base de .
17e) .
17f) , onde e são bases de e , respectivamente.
17g) , onde e são bases de e , respectivamente.
Determine se os seguintes conjuntos são subespaços de (matrizes quadradas de ordem 2)
O conjunto de todas as matrizes triangulares de ordem 2;