Determine se os seguintes conjuntos são subespaços de M2 times 2 (matrizes quadradas de ordem 2)
O conjunto de todas as matrizes triangulares de ordem 2;

Passo 1

Vamos analisar se o conjunto de todas as matrizes triangulares de ordem 2 é um subespaço de , que é o conjunto de todas as matrizes quadradas de 2x2. Para isso, precisamos verificar se esse conjunto satisfaz as propriedades necessárias para ser um subespaço vetorial. Vamos precisar entender o que define uma matriz triangular e os critérios para um conjunto ser um subespaço.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz triangular. Uma matriz triangular de ordem 2 pode ser triangular superior ou triangular inferior.
  • Triangular Superior: Todas as entradas abaixo da diagonal principal são zero. Ou seja, em uma matriz a & b c & d , a & b c & d .
  • Triangular Inferior: Todas as entradas acima da diagonal principal são zero. Ou seja, em uma matriz , .

Passo 3

Agora, para que um conjunto de matrizes seja considerado um subespaço vetorial de , ele deve satisfazer três propriedades:
  1. O conjunto não pode ser vazio: Deve conter a matriz zero.
  2. Fechamento sob adição: A soma de quaisquer duas matrizes do conjunto também deve pertencer ao conjunto.
  3. Fechamento sob multiplicação por escalar: A multiplicação de qualquer matriz do conjunto por um escalar (número real) também deve pertencer ao conjunto.

Passo 4

Vamos verificar essas propriedades para o conjunto de matrizes triangulares superiores:
  1. Matriz Zero: A matriz zero 0 & 0 0 & 0 é triangular superior, pois todas as entradas abaixo da diagonal são zero.
  2. Fechamento sob Adição: Se a & b 0 & d e e & f 0 & h são matrizes triangulares superiores, então a+e & b+f 0+0 & d+h , que também é triangular superior.
  3. Fechamento sob Multiplicação por Escalar: Se a+e & b+f 0 & d+h é triangular superior e a & b 0 & d é um escalar, então ka & kb 0 & kd , que também é triangular superior.

Passo 5

Analogamente, vamos verificar para o conjunto de matrizes triangulares inferiores:
  1. Matriz Zero: A matriz zero é triangular inferior.
  2. Fechamento sob Adição: Se a & 0 c & d e e & 0 f & h são matrizes triangulares inferiores, então a+e & 0+0 c+f & d+h , que também é triangular inferior.
  3. Fechamento sob Multiplicação por Escalar: Se a+e & 0 c+f & d+h é triangular inferior e a & 0 c & d é um escalar, então ka & 0 kc & kd , que também é triangular inferior.

Passo 6

Como tanto as matrizes triangulares superiores quanto as triangulares inferiores satisfazem as três propriedades necessárias (contém a matriz zero, fechamento sob adição e multiplicação por escalar), podemos concluir que cada um desses conjuntos são subespaços de .

Resposta

Sim, o conjunto de todas as matrizes triangulares de ordem 2 é um subespaço de .

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