Determine se os seguintes conjuntos são subespaços de
(matrizes quadradas de ordem 2)
O conjunto de todas as matrizes triangulares de ordem 2;
O conjunto de todas as matrizes triangulares de ordem 2;
Passo 1
Vamos analisar se o conjunto de todas as matrizes triangulares de ordem 2 é um subespaço de
, que é o conjunto de todas as matrizes quadradas de 2x2. Para isso, precisamos verificar se esse conjunto satisfaz as propriedades necessárias para ser um subespaço vetorial. Vamos precisar entender o que define uma matriz triangular e os critérios para um conjunto ser um subespaço.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz triangular. Uma matriz triangular de ordem 2 pode ser triangular superior ou triangular inferior.
-
Triangular Superior: Todas as entradas abaixo da diagonal principal são zero. Ou seja, em uma matriz
, . -
Triangular Inferior: Todas as entradas acima da diagonal principal são zero. Ou seja, em uma matriz
, .
Passo 3
Agora, para que um conjunto de matrizes seja considerado um subespaço vetorial de
, ele deve satisfazer três propriedades:
- O conjunto não pode ser vazio: Deve conter a matriz zero.
- Fechamento sob adição: A soma de quaisquer duas matrizes do conjunto também deve pertencer ao conjunto.
- Fechamento sob multiplicação por escalar: A multiplicação de qualquer matriz do conjunto por um escalar (número real) também deve pertencer ao conjunto.
Passo 4
Vamos verificar essas propriedades para o conjunto de matrizes triangulares superiores:
-
Matriz Zero: A matriz zero
é triangular superior, pois todas as entradas abaixo da diagonal são zero. -
Fechamento sob Adição: Se
e são matrizes triangulares superiores, então , que também é triangular superior. -
Fechamento sob Multiplicação por Escalar: Se
é triangular superior e é um escalar, então , que também é triangular superior.
Passo 5
Analogamente, vamos verificar para o conjunto de matrizes triangulares inferiores:
-
Matriz Zero: A matriz zero é triangular inferior.
-
Fechamento sob Adição: Se
e são matrizes triangulares inferiores, então , que também é triangular inferior. -
Fechamento sob Multiplicação por Escalar: Se
é triangular inferior e é um escalar, então , que também é triangular inferior.
Passo 6
Como tanto as matrizes triangulares superiores quanto as triangulares inferiores satisfazem as três propriedades necessárias (contém a matriz zero, fechamento sob adição e multiplicação por escalar), podemos concluir que cada um desses conjuntos são subespaços de
.
Resposta
Sim, o conjunto de todas as matrizes triangulares de ordem 2 é um subespaço de
.