Determine se os seguintes conjuntos são subespaços de (matrizes quadradas de ordem 2)
O conjunto de todas as matrizes triangulares de ordem 2;
Passo 1
Vamos analisar se o conjunto de todas as matrizes triangulares de ordem 2 é um subespaço de , que é o conjunto de todas as matrizes quadradas de 2x2. Para isso, precisamos verificar se esse conjunto satisfaz as propriedades necessárias para ser um subespaço vetorial. Vamos precisar entender o que define uma matriz triangular e os critérios para um conjunto ser um subespaço.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz triangular. Uma matriz triangular de ordem 2 pode ser triangular superior ou triangular inferior.
Triangular Superior: Todas as entradas abaixo da diagonal principal são zero. Ou seja, em uma matriz , .
Triangular Inferior: Todas as entradas acima da diagonal principal são zero. Ou seja, em uma matriz , .
Passo 3
Agora, para que um conjunto de matrizes seja considerado um subespaço vetorial de , ele deve satisfazer três propriedades:
O conjunto não pode ser vazio: Deve conter a matriz zero.
Fechamento sob adição: A soma de quaisquer duas matrizes do conjunto também deve pertencer ao conjunto.
Fechamento sob multiplicação por escalar: A multiplicação de qualquer matriz do conjunto por um escalar (número real) também deve pertencer ao conjunto.
Passo 4
Vamos verificar essas propriedades para o conjunto de matrizes triangulares superiores:
Matriz Zero: A matriz zero é triangular superior, pois todas as entradas abaixo da diagonal são zero.
Fechamento sob Adição: Se e são matrizes triangulares superiores, então , que também é triangular superior.
Fechamento sob Multiplicação por Escalar: Se é triangular superior e é um escalar, então , que também é triangular superior.
Passo 5
Analogamente, vamos verificar para o conjunto de matrizes triangulares inferiores:
Matriz Zero: A matriz zero é triangular inferior.
Fechamento sob Adição: Se e são matrizes triangulares inferiores, então , que também é triangular inferior.
Fechamento sob Multiplicação por Escalar: Se é triangular inferior e é um escalar, então , que também é triangular inferior.
Passo 6
Como tanto as matrizes triangulares superiores quanto as triangulares inferiores satisfazem as três propriedades necessárias (contém a matriz zero, fechamento sob adição e multiplicação por escalar), podemos concluir que cada um desses conjuntos são subespaços de .
Resposta
Sim, o conjunto de todas as matrizes triangulares de ordem 2 é um subespaço de .