f(t) = t * e^(a * t) f(t) = t * sen(a * t)
Em cada um dos problemas de 21 a 24, encontre a transformada de Laplace da função dada.
21.
f(t) = { 1, 0 <= t < pi; 0, pi <= t < infinito }

Passo 1

Beleza, vamos resolver a questão 21 juntos! O enunciado pede para encontrar a transformada de Laplace da função , que vale 1 para e 0 para . A transformada de Laplace é uma ferramenta da matemática usada para transformar funções do tempo para o domínio da frequência . Para resolver isso, vamos precisar usar a definição da transformada de Laplace e entender como aplicá-la a funções definidas por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a definição da transformada de Laplace. Ela é dada por:
Isso significa que a transformada de Laplace de é a integral de de 0 a infinito.

Passo 3

No nosso caso, a função é definida por partes:
Como a função vale 1 apenas até e depois é 0, a integral da transformada de Laplace vai de 0 a , porque além disso a função é zero e não contribui para a integral.

Passo 4

Então, a transformada de Laplace de fica:
Agora, vamos resolver essa integral.

Passo 5

Integrando em relação a :

Resposta

A transformada de Laplace da função é:

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