Considere que f(z) = z^α seja o valor principal da potência complexa no domínio |z| > 0 e - pi < arg(z) < pi. Calcule o valor da derivada da função no ponto indicado: (z)^(2*i) ; z=i

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função , que é uma potência complexa. Precisamos calcular a derivada dessa função no ponto . Para resolver isso, vamos precisar conhecer como derivar funções potenciais com expoentes complexos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para derivar uma função da forma , onde é um número complexo, a derivada é dada por:
Aqui, , então a derivada fica:

Passo 3

Agora, vamos calcular no ponto :
Para encontrar , precisamos expressar na forma exponencial. Sabemos que:
Então, tomando o logaritmo natural de ambos os lados:
Agora, podemos calcular usando a fórmula :

Passo 4

Vamos simplificar . Usando a fórmula de Euler:
Substituindo :
Portanto:

Passo 5

Voltando à expressão da derivada:
Sabemos que , então:

Resposta

A derivada da função no ponto é igual a .

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