Considere que
seja o valor principal da potência complexa no domínio
. Calcule o valor da derivada da função no ponto indicado:
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função
, que é uma potência complexa. Precisamos calcular a derivada dessa função no ponto
. Para resolver isso, vamos precisar conhecer como derivar funções potenciais com expoentes complexos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para derivar uma função da forma
, onde
é um número complexo, a derivada é dada por:
Aqui,
, então a derivada fica:
Passo 3
Agora, vamos calcular
no ponto
:
Para encontrar
, precisamos expressar
na forma exponencial. Sabemos que:
Então, tomando o logaritmo natural de ambos os lados:
Agora, podemos calcular
usando a fórmula
:
Passo 4
Vamos simplificar
. Usando a fórmula de Euler:
Substituindo
:
Portanto:
Passo 5
Voltando à expressão da derivada:
Sabemos que
, então:
Resposta
A derivada da função
no ponto
é igual a
.