Nas questões de 15 a 17, calcule a integral no contorno fechado C indicado.
ointC(3z+2-1z-2 i) d z ;: |z|=5

Passo 1

Vamos resolver a integral de contorno fechada ointC(3z+2-1z-2i) dz onde |z|=5 dada por
Este exercício envolve o conceito de integrais de contorno na análise complexa. Para resolver, vamos precisar entender teorema de Cauchy e resíduo de funções complexas.

Passo 2

Primeiro, identificamos os pontos onde a função a ser integrada tem singularidades (valores de z + 2 = 0 Rightarrow z = -2, que tornam o denominador zero):
z - 2i = 0 Rightarrow z = 2i
Esses são os pontos singulares da função.

Passo 3

Como a integral é sobre o contorno | -2 | = 2 < 5 e |2i| = 2 < 5 , precisamos verificar se esses pontos singulares estão dentro desse contorno:
Ambos os pontos e estão dentro do contorno .

Passo 4

De acordo com o Teorema de Cauchy, a integral de uma função analítica sobre um contorno fechado é igual a vezes a soma dos resíduos dentro desse contorno. Portanto, vamos calcular os resíduos das duas frações separadamente.

Passo 5

Para a primeira fração , o resíduo em é simplesmente o coeficiente de , que é 3.

Passo 6

Para a segunda fração , o resíduo em é o coeficiente de , que é -1.

Passo 7

Somando os resíduos:
Resíduo total = 3 + (-1) = 2 í

Passo 8

Aplicando o Teorema de Cauchy:
ointC(3z+2-1z-2i) dz = 2pi i times Resíduo total = 2pi i times 2 = 4pi i í

Resposta

A integral no contorno fechado é igual a .

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