Nas questões de 15 a 17, calcule a integral no contorno fechado C indicado.
Passo 1
Vamos resolver a integral de contorno fechada
dada por
Este exercício envolve o conceito de integrais de contorno na análise complexa. Para resolver, vamos precisar entender teorema de Cauchy e resíduo de funções complexas.
Passo 2
Primeiro, identificamos os pontos onde a função a ser integrada tem singularidades (valores de
que tornam o denominador zero):
Esses são os pontos singulares da função.
Passo 3
Como a integral é sobre o contorno
, precisamos verificar se esses pontos singulares estão dentro desse contorno:
Ambos os pontos
e
estão dentro do contorno
.
Passo 4
De acordo com o Teorema de Cauchy, a integral de uma função analítica sobre um contorno fechado é igual a
vezes a soma dos resíduos dentro desse contorno. Portanto, vamos calcular os resíduos das duas frações separadamente.
Passo 5
Para a primeira fração
, o resíduo em
é simplesmente o coeficiente de
, que é 3.
Passo 6
Para a segunda fração
, o resíduo em
é o coeficiente de
, que é -1.
Passo 7
Somando os resíduos:
Passo 8
Aplicando o Teorema de Cauchy:
Resposta
A integral no contorno fechado
é igual a
.
Exercícios relacionados
Calcule
, onde
é a hélice circular dada pelas equações
,
.
Identifique a regra de derivação da função, bem como o domínio em que a função é derivável. Escolha um ponto adequado para calcular o valor da derivada no ponto:
Em cada um dos problemas de 21 a 24, encontre a transformada de Laplace da função dada.
21.
21.
Calcule todos os valores de
que satisfazem a expressão: