Calcule todos os valores de
que satisfazem a expressão:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar todos os valores de
que satisfazem a equação
. Aqui estamos lidando com números complexos e usando funções exponenciais. Para resolver isso, vamos precisar usar propriedades das exponenciais e a definição do logaritmo complexo.
Passo 2
Primeiro, queremos isolar o
. Para isso, vamos aplicar o logaritmo natural dos dois lados da equação. Lembre-se que
, mas como estamos lidando com números complexos, precisamos considerar todas as soluções possíveis.
Passo 3
Agora, vamos simplificar o lado direito. Podemos separar o produto dentro do logaritmo usando a propriedade
:
Sabemos que
, então:
Passo 4
Precisamos calcular
. Para números complexos,
pode ser representado na forma polar como
, onde
é qualquer inteiro. Portanto:
Passo 5
Substituindo de volta na equação original:
Agora, basta isolar
:
Resposta
Todos os valores de
que satisfazem a equação são dados por: