Calcule todos os valores de z que satisfazem a expressão: e^(z-1) = -i e^(3)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar todos os valores de que satisfazem a equação . Aqui estamos lidando com números complexos e usando funções exponenciais. Para resolver isso, vamos precisar usar propriedades das exponenciais e a definição do logaritmo complexo.

Passo 2

Primeiro, queremos isolar o . Para isso, vamos aplicar o logaritmo natural dos dois lados da equação. Lembre-se que , mas como estamos lidando com números complexos, precisamos considerar todas as soluções possíveis.

Passo 3

Agora, vamos simplificar o lado direito. Podemos separar o produto dentro do logaritmo usando a propriedade :
Sabemos que , então:

Passo 4

Precisamos calcular . Para números complexos, pode ser representado na forma polar como , onde é qualquer inteiro. Portanto:

Passo 5

Substituindo de volta na equação original:
Agora, basta isolar :

Resposta

Todos os valores de que satisfazem a equação são dados por:
é

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