Calcule
, onde
é a hélice circular dada pelas equações
,
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral de linha juntos! O enunciado pede para calcular
, onde
é uma hélice circular definida pelas equações paramétricas
,
e
, com
variando de
a
. A matéria envolvida aqui é cálculo multivariável, especificamente integrais de linha. Para resolver isso, vamos precisar parametrizar a curva, encontrar o diferencial de arco
e então substituir tudo na integral para calcular.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que
é dada parametricamente em função de
. Isso significa que podemos expressar
,
e
em termos de
:
Aqui,
varia de
a
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o diferencial de arco
. Ele é dado por:
Vamos calcular as derivadas de
,
e
em relação a
:
Passo 4
Substituindo essas derivadas na expressão de
, temos:
Como
, simplificamos para:
Passo 5
Agora, substituímos
,
e
na integral original:
Passo 6
Vamos calcular a integral
. Sabemos que:
Então:
Integrando termo a termo:
Resposta
O valor da integral é
.