Calcule integralC y sin z d s, onde C é a hélice circular dada pelas equações x=cos t, y=sin t, z=t, 0 <= t <= 2 pi.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de linha juntos! O enunciado pede para calcular , onde é uma hélice circular definida pelas equações paramétricas , e , com variando de a . A matéria envolvida aqui é cálculo multivariável, especificamente integrais de linha. Para resolver isso, vamos precisar parametrizar a curva, encontrar o diferencial de arco e então substituir tudo na integral para calcular.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que x(t) = cos t, y(t) = sin t, z(t) = t é dada parametricamente em função de . Isso significa que podemos expressar , e em termos de :
Aqui, varia de a .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o diferencial de arco ds = raiz(dxdt)^2 + (dydt)^2 + (dzdt)^2 , dt . Ele é dado por:
dxdt = -sin t, dydt = cos t, dzdt = 1
Vamos calcular as derivadas de , e em relação a :

Passo 4

Substituindo essas derivadas na expressão de ds = raiz(-sin t)^2 + (cos t)^2 + (1)^2 , dt = raizsin^2 t + cos^2 t + 1 , dt , temos:
ds = raiz1 + 1 , dt = raiz2 , dt
Como , simplificamos para:

Passo 5

Agora, substituímos integralC y sin z , ds = integral0^2pi sin t cdot sin t cdot raiz2 , dt = raiz2 integral0^2pi sin^2 t , dt , e na integral original:

Passo 6

Vamos calcular a integral sin^2 t = 1 - cos 2t2 . Sabemos que:
raiz2 integral0^2pi 1 - cos 2t2 , dt = raiz22 integral0^2pi (1 - cos 2t) , dt
Então:
raiz22 [ t - sin 2t2 ]0^2pi = raiz22 [ 2pi - 0 ] = raiz22 cdot 2pi = raiz2 pi
Integrando termo a termo:

Resposta

O valor da integral é .

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