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Considere a curva
parametrizada por
, em que
são constantes fixadas.
(a) Mostre que
está contida no elipsóide
.
Considere a curva
(a) Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma curva
definida por
,
e
. O objetivo aqui é mostrar que essa curva está dentro do elipsóide dado por
. Vamos usar um pouco de álgebra e substituir as expressões da curva na equação do elipsóide para verificar isso.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação do elipsóide:
Agora, vamos substituir
,
e
pelas expressões da curva
:
Passo 3
Substituindo na equação do elipsóide:
Passo 4
Vamos simplificar cada termo:
Então, a equação fica:
Passo 5
Observando os dois primeiros termos, podemos fatorar
:
Sabemos que
, então:
Passo 6
A última equação simplifica para:
E isso é uma identidade trigonométrica verdadeira!
Resposta
Portanto, mostramos que
quando substituímos os parâmetros da curva
, confirmando que
está contida no elipsóide.