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Considere a curva C parametrizada por x = a * sen(α) * sen(t), y = b * cos(α) * sen(t), z = c * cos(t), em que a, b, c, alpha são constantes fixadas.
(a) Mostre que C está contida no elipsóide x^2/a^2 + y^2/b^2 + z^2/c^2 = 1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma curva definida por , e . O objetivo aqui é mostrar que essa curva está dentro do elipsóide dado por . Vamos usar um pouco de álgebra e substituir as expressões da curva na equação do elipsóide para verificar isso.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação do elipsóide:
Agora, vamos substituir , e pelas expressões da curva :

Passo 3

Substituindo na equação do elipsóide:

Passo 4

Vamos simplificar cada termo:
Então, a equação fica:

Passo 5

Observando os dois primeiros termos, podemos fatorar :
Sabemos que , então:

Passo 6

A última equação simplifica para:
E isso é uma identidade trigonométrica verdadeira!

Resposta

Portanto, mostramos que quando substituímos os parâmetros da curva , confirmando que está contida no elipsóide.

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