Encontre uma possível parametrização para as seguintes curvas:
e) em , o circulo de raio 1 e centro , no plano .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente encontrar uma parametrização para um círculo de raio 1, centrado na origem , que está no plano onde em três dimensões. O conteúdo que vamos usar aqui envolve geometria analítica no espaço, mais especificamente a parametrização de curvas em . Para resolver, vamos precisar entender como representar um círculo em um plano específico usando funções trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a parametrização de um círculo no plano geralmente é dada por:
onde varia de a . Agora, nosso círculo está no plano . Isso significa que, para qualquer ponto no círculo, as coordenadas e são iguais.
Passo 3
Como , podemos simplificar nossa parametrização. Vamos assumir que (poderíamos também usar , mas a escolha não afeta a generalidade). Então, temos:
Passo 4
Agora, precisamos determinar a coordenada . Como o círculo está no plano , e este plano é inclinado em relação aos eixos, não há restrição direta para além de garantir que o raio seja 1. Considerando que o raio do círculo é 1, e temos , podemos usar a relação do raio no círculo:
Substituindo e por :
No entanto, para simplificar a parametrização e garantir que todos os pontos do círculo sejam cobertos, podemos ajustar nossa abordagem escolhendo uma parametrização diferente para que satisfaça a equação do círculo.
Passo 5
Uma maneira mais direta é considerar que no plano , podemos expressar em termos de um parâmetro . Vamos definir:
Dessa forma, garantimos que:
Então, essa parametrização descreve um círculo de raio 1 no plano .