Encontre uma possível parametrização para as seguintes curvas:
e) em R^3, o circulo de raio 1 e centro (0, 0, 0), no plano x = y.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente encontrar uma parametrização para um círculo de raio 1, centrado na origem (0, 0, 0), que está no plano onde em três dimensões. O conteúdo que vamos usar aqui envolve geometria analítica no espaço, mais especificamente a parametrização de curvas em . Para resolver, vamos precisar entender como representar um círculo em um plano específico usando funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a parametrização de um círculo no plano xy geralmente é dada por:
onde t varia de 0 a . Agora, nosso círculo está no plano . Isso significa que, para qualquer ponto no círculo, as coordenadas x e y são iguais.

Passo 3

Como , podemos simplificar nossa parametrização. Vamos assumir que (poderíamos também usar , mas a escolha não afeta a generalidade). Então, temos:

Passo 4

Agora, precisamos determinar a coordenada z. Como o círculo está no plano , e este plano é inclinado em relação aos eixos, não há restrição direta para z além de garantir que o raio seja 1. Considerando que o raio do círculo é 1, e temos , podemos usar a relação do raio no círculo:
Substituindo x e y por :
No entanto, para simplificar a parametrização e garantir que todos os pontos do círculo sejam cobertos, podemos ajustar nossa abordagem escolhendo uma parametrização diferente para z que satisfaça a equação do círculo.

Passo 5

Uma maneira mais direta é considerar que no plano , podemos expressar z em termos de um parâmetro t. Vamos definir:
Dessa forma, garantimos que:
Então, essa parametrização descreve um círculo de raio 1 no plano .

Resposta

Uma possível parametrização é:
onde .

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