Encontre uma possível parametrização para as seguintes curvas:
b) parabola em percorrida de baixo para cima;

Passo 1

Beleza, então o que a gente tem aqui é uma parábola definida pela equação no plano . A gente precisa encontrar uma maneira de descrever essa curva usando uma função paramétrica, ou seja, expressar e em termos de um parâmetro, que vamos chamar de . Além disso, a parametrização deve seguir a trajetória da parábola de baixo para cima, o que significa que conforme aumenta, também aumenta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma parametrização. Basicamente, a gente escolhe um parâmetro que varia ao longo de um intervalo, e expressa as coordenadas e da curva em função desse . Isso facilita várias operações, como calcular tangentes, comprimentos de arco, entre outros.

Passo 3

Para parametrizar a parábola , vamos escolher como nosso parâmetro. Ou seja, vamos definir , onde varia pelos números reais. Assim, se , substituindo na equação da parábola temos:
Então, agora temos e em termos de .

Passo 4

Agora, juntando as expressões que encontramos, a função paramétrica que descreve a parábola fica:
À medida que aumenta, aumenta (de baixo para cima) e aumenta de acordo com , o que segue a forma da parábola.

Resposta

Uma possível parametrização para a parábola percorrida de baixo para cima é:

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Encontre equações paramétricas da reta tangente a em , nos seguintes casos:
(b)
Considere a função vetorial :
(b) Calcule e .
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Considere a curva parametrizada por , em que são constantes fixadas.
(a) Mostre que está contida no elipsóide .
Encontre equações paramétricas da reta tangente a em , nos seguintes casos:
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