Encontre equações paramétricas da reta tangente a C em P, nos seguintes casos:
© C: r(t) = e^t i + t sen(t) j + t cos(t), P = (1,0,0)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as equações paramétricas da reta tangente à curva no ponto . A matéria que a gente vai usar aqui é cálculo de vetores e derivadas de curvas vetoriais. Vamos precisar calcular a derivada da curva para achar o vetor tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o valor de que corresponde ao ponto na curva . A curva é dada por:
Igualando cada componente a :
A solução que satisfaz todas é .

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de para encontrar o vetor tangente. A derivada de é:
Calculando termo a termo:

Passo 4

Vamos avaliar no valor que encontramos no Passo 2:
Então, o vetor tangente é .

Passo 5

Com o ponto e o vetor tangente , podemos escrever as equações paramétricas da reta tangente. A fórmula geral é:
Então, substituindo:
Onde é o parâmetro.

Resposta

As equações paramétricas da reta tangente são:

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