Encontre equações paramétricas da reta tangente a
em
, nos seguintes casos:
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as equações paramétricas da reta tangente à curva
no ponto
. A matéria que a gente vai usar aqui é cálculo de vetores e derivadas de curvas vetoriais. Vamos precisar calcular a derivada da curva para achar o vetor tangente.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o valor de
que corresponde ao ponto
na curva
. A curva é dada por:
Igualando cada componente a
:
A solução que satisfaz todas é
.
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada de
para encontrar o vetor tangente. A derivada de
é:
Calculando termo a termo:
Passo 4
Vamos avaliar
no valor
que encontramos no Passo 2:
Então, o vetor tangente é
.
Passo 5
Com o ponto
e o vetor tangente
, podemos escrever as equações paramétricas da reta tangente. A fórmula geral é:
Então, substituindo:
Onde
é o parâmetro.
Resposta
As equações paramétricas da reta tangente são:
Exercícios relacionados
18
Considere a curva parametrizada por
, em que
são constantes fixadas.
(a) Mostre que está contida no elipsóide
.
Considere a curva
(a) Mostre que
Encontre uma possível parametrização para as seguintes curvas:
b) parabola em
percorrida de baixo para cima;
b) parabola
Encontre uma possível parametrização para as seguintes curvas:
e) em , o circulo de raio 1 e centro
, no plano
.
e) em
Considere a curva
parametrizada por
, em que
são constantes fixadas.
(a) Mostre que está contida no cone
.
(a) Mostre que