Encontre equações paramétricas da reta tangente a em , nos seguintes casos:
(b)
Passo 1
Beleza! A gente precisa encontrar as equações paramétricas da reta tangente à curva no ponto . A curva está definida por:
Vamos usar cálculo vetorial, especificamente derivadas, para determinar a direção da reta tangente. Precisamos achar o valor de que corresponde ao ponto e então calcular a derivada das funções para obter o vetor tangente.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o valor de que nos dá o ponto . Olhando as equações:
Agora vamos verificar se realmente nos dá e :
Então, é o valor correto que corresponde ao ponto .
Passo 3
Agora que sabemos que , vamos calcular as derivadas das funções , e em relação a para encontrar o vetor tangente naquele ponto.
As derivadas são:
Vamos avaliar essas derivadas em :
Portanto, o vetor tangente em é .
Passo 4
Com o ponto e o vetor tangente , podemos escrever as equações paramétricas da reta tangente. A forma geral das equações paramétricas de uma reta é:
Onde é um ponto na reta e é o vetor diretor, e é o parâmetro.
Passo 5
Aplicando os valores que temos:
Então, as equações paramétricas da reta tangente são:
Resposta
As equações paramétricas da reta tangente a no ponto são: