Encontre equações paramétricas da reta tangente a C em P, nos seguintes casos:
(b) C: { x = e^t, y = t e^t, P = (1, 0, 4), z = t^2 + 4 }

Passo 1

Beleza! A gente precisa encontrar as equações paramétricas da reta tangente à curva C no ponto . A curva C está definida por:
Vamos usar cálculo vetorial, especificamente derivadas, para determinar a direção da reta tangente. Precisamos achar o valor de t que corresponde ao ponto P e então calcular a derivada das funções para obter o vetor tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o valor de t que nos dá o ponto . Olhando as equações:
Agora vamos verificar se t = 0 realmente nos dá y = 0 e z = 4:
Então, t = 0 é o valor correto que corresponde ao ponto P.

Passo 3

Agora que sabemos que t = 0, vamos calcular as derivadas das funções x(t), y(t) e z(t) em relação a t para encontrar o vetor tangente naquele ponto.
As derivadas são:
Vamos avaliar essas derivadas em t = 0:
Portanto, o vetor tangente em P é .

Passo 4

Com o ponto e o vetor tangente (1, 1, 0), podemos escrever as equações paramétricas da reta tangente. A forma geral das equações paramétricas de uma reta é:
Onde é um ponto na reta e (a, b, c) é o vetor diretor, e s é o parâmetro.

Passo 5

Aplicando os valores que temos:
Então, as equações paramétricas da reta tangente são:

Resposta

As equações paramétricas da reta tangente a C no ponto são:
onde s é o parâmetro.

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