Encontre equações paramétricas da reta tangente a em , nos seguintes casos:
(b)

Passo 1

Beleza! A gente precisa encontrar as equações paramétricas da reta tangente à curva no ponto . A curva está definida por:
Vamos usar cálculo vetorial, especificamente derivadas, para determinar a direção da reta tangente. Precisamos achar o valor de que corresponde ao ponto e então calcular a derivada das funções para obter o vetor tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o valor de que nos dá o ponto . Olhando as equações:
Agora vamos verificar se realmente nos dá e :
Então, é o valor correto que corresponde ao ponto .

Passo 3

Agora que sabemos que , vamos calcular as derivadas das funções , e em relação a para encontrar o vetor tangente naquele ponto.
As derivadas são:
Vamos avaliar essas derivadas em :
Portanto, o vetor tangente em é .

Passo 4

Com o ponto e o vetor tangente , podemos escrever as equações paramétricas da reta tangente. A forma geral das equações paramétricas de uma reta é:
Onde é um ponto na reta e é o vetor diretor, e é o parâmetro.

Passo 5

Aplicando os valores que temos:
Então, as equações paramétricas da reta tangente são:

Resposta

As equações paramétricas da reta tangente a no ponto são:
onde é o parâmetro.

Exercícios relacionados

Considere a função vetorial :
(b) Calcule e .
Encontre uma possível parametrização para as seguintes curvas:
c) elipse , em sentido horário
Encontre uma possível parametrização para as seguintes curvas:
b) parabola em percorrida de baixo para cima;
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Considere a curva parametrizada por , em que são constantes fixadas.
(a) Mostre que está contida no elipsóide .