18
Determine quais das seguintes funções são transformações lineares. Justifique sua resposta.
a) tal que
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a pergunta tá pedindo. A gente tem uma função que pega uma matriz 2x2 e retorna um número real, especificamente o determinante dessa matriz. O objetivo aqui é descobrir se essa função é uma transformação linear. Pra isso, vamos precisar lembrar o que é uma transformação linear na matemática.
Passo 2
Primeiro, uma transformação linear precisa obedecer a duas regras básicas:
Aditividade: para quaisquer matrizes e .
Homogeneidade: para qualquer escalar e matriz .
Se a função cumprir essas duas propriedades, ela é considerada uma transformação linear.
Passo 3
Vamos testar a aditividade. Seja e duas matrizes 2x2:
Calculando :
Agora, calculando :
Observamos que não é igual a porque há termos cruzados que não cancelam, como e , além de e . Portanto, a aditividade não é satisfeita.
Passo 4
Já que a primeira propriedade, a aditividade, já não foi cumprida, não precisamos verificar a homogeneidade. Se uma das propriedades falhar, a função não é uma transformação linear.
Resposta
A função não é uma transformação linear porque ela não satisfaz a propriedade de aditividade. Ou seja, não é igual a para matrizes e .