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Determine quais das seguintes funções são transformações lineares. Justifique sua resposta.
a) f: M2 R tal que f([lla11 & a12 a21 & a22])=det[lla11 & a12 a21 & a22]

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a pergunta tá pedindo. A gente tem uma função que pega uma matriz 2x2 e retorna um número real, especificamente o determinante dessa matriz. O objetivo aqui é descobrir se essa função é uma transformação linear. Pra isso, vamos precisar lembrar o que é uma transformação linear na matemática.

Passo 2

Primeiro, uma transformação linear precisa obedecer a duas regras básicas:
  1. Aditividade: para quaisquer matrizes e .
  2. Homogeneidade: para qualquer escalar e matriz .
Se a função cumprir essas duas propriedades, ela é considerada uma transformação linear.

Passo 3

Vamos testar a aditividade. Seja A = a11 & a12 a21 & a22 , B = b11 & b12 b21 & b22 e A + B = a11 + b11 & a12 + b12 a21 + b21 & a22 + b22 duas matrizes 2x2:
f(A + B) = det(A + B) = (a11 + b11)(a22 + b22) - (a12 + b12)(a21 + b21)
Calculando f(A) = det(A) = a11a22 - a12a21 :
f(B) = det(B) = b11b22 - b12b21
f(A) + f(B) = (a11a22 - a12a21) + (b11b22 - b12b21)
Agora, calculando :
Observamos que não é igual a porque há termos cruzados que não cancelam, como e , além de e . Portanto, a aditividade não é satisfeita.

Passo 4

Já que a primeira propriedade, a aditividade, já não foi cumprida, não precisamos verificar a homogeneidade. Se uma das propriedades falhar, a função não é uma transformação linear.

Resposta

A função não é uma transformação linear porque ela não satisfaz a propriedade de aditividade. Ou seja, não é igual a para matrizes e .

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