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Determine quais das seguintes funções são transformações lineares. Justifique sua resposta.
a) tal que

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a pergunta tá pedindo. A gente tem uma função que pega uma matriz 2x2 e retorna um número real, especificamente o determinante dessa matriz. O objetivo aqui é descobrir se essa função é uma transformação linear. Pra isso, vamos precisar lembrar o que é uma transformação linear na matemática.

Passo 2

Primeiro, uma transformação linear precisa obedecer a duas regras básicas:
  1. Aditividade: para quaisquer matrizes e .
  2. Homogeneidade: para qualquer escalar e matriz .
Se a função cumprir essas duas propriedades, ela é considerada uma transformação linear.

Passo 3

Vamos testar a aditividade. Seja e duas matrizes 2x2:
Calculando :
Agora, calculando :
Observamos que não é igual a porque há termos cruzados que não cancelam, como e , além de e . Portanto, a aditividade não é satisfeita.

Passo 4

Já que a primeira propriedade, a aditividade, já não foi cumprida, não precisamos verificar a homogeneidade. Se uma das propriedades falhar, a função não é uma transformação linear.

Resposta

A função não é uma transformação linear porque ela não satisfaz a propriedade de aditividade. Ou seja, não é igual a para matrizes e .

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Dada a transformação linear definida por , encontre , nulidade de e posto de .
Seja tal que , com e .
c) Determine e uma base para esse subespaço do .
Determine o conjunto solucä̃ dos seguintes sistemas de equasies linearus
Determine a forma escalonoda reduzida das mutizes abaixo: