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Determine quais das seguintes funções são transformações lineares. Justifique sua resposta.
a)
tal que
Determine quais das seguintes funções são transformações lineares. Justifique sua resposta.
a)
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a pergunta tá pedindo. A gente tem uma função
que pega uma matriz 2x2 e retorna um número real, especificamente o determinante dessa matriz. O objetivo aqui é descobrir se essa função
é uma transformação linear. Pra isso, vamos precisar lembrar o que é uma transformação linear na matemática.
Passo 2
Primeiro, uma transformação linear precisa obedecer a duas regras básicas:
- Aditividade:
para quaisquer matrizes e . - Homogeneidade:
para qualquer escalar e matriz .
Se a função
cumprir essas duas propriedades, ela é considerada uma transformação linear.
Passo 3
Vamos testar a aditividade. Seja
e
duas matrizes 2x2:
Calculando
:
Agora, calculando
:
Observamos que
não é igual a
porque há termos cruzados que não cancelam, como
e
, além de
e
. Portanto, a aditividade não é satisfeita.
Passo 4
Já que a primeira propriedade, a aditividade, já não foi cumprida, não precisamos verificar a homogeneidade. Se uma das propriedades falhar, a função não é uma transformação linear.
Resposta
A função
não é uma transformação linear porque ela não satisfaz a propriedade de aditividade. Ou seja,
não é igual a
para matrizes
e
.