Determine o conjunto solucä̃ dos seguintes sistemas de equasies linearus
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações lineares que você mandou. O sistema tem 3 equações com 4 incógnitas (, , , ). Nosso objetivo é encontrar todas as soluções que satisfazem as três equações ao mesmo tempo. Para isso, vamos usar o método da eliminação de Gauss, que ajuda a simplificar o sistema para descobrir as relações entre as variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos representar o sistema de equações em forma de matriz aumentada. A matriz aumentada é uma maneira organizada de visualizar todas as equações juntas:
Passo 3
Agora, vamos usar operações elementares de linha para simplificar essa matriz. O objetivo é transformar a matriz em uma forma mais simples, onde seja fácil ver as relações entre as variáveis.
Primeiro, vamos tornar o primeiro elemento (pivot) da primeira linha igual a 1. Para isso, dividimos toda a primeira linha por 2:
Passo 4
Em seguida, eliminamos o coeficiente abaixo do pivot (1) na primeira coluna. Para isso, subtraímos 7 vezes a primeira linha da segunda linha e 2 vezes a primeira linha da terceira linha:
Segunda linha:
Terceira linha:
Após essas operações, a matriz fica assim:
Passo 5
Agora, vamos focar na segunda coluna. Queremos que o pivô da segunda linha seja 1. Dividimos toda a segunda linha por 11.5:
Simplificando as frações:
Passo 6
Vamos eliminar o coeficiente abaixo do pivô na segunda coluna. Subtraímos 11 vezes a segunda linha da terceira linha:
Resultado:
Passo 7
Agora, vamos simplificar a terceira linha para obter o pivô igual a 1. Dividimos toda a terceira linha por 20.043:
Passo 8
Com a matriz na forma escalonada, podemos escrever as equações correspondentes:
Passo 9
Vamos expressar as variáveis em termos das variáveis livres. Observamos que temos 4 variáveis e 3 equações, então temos 1 variável livre. Vamos escolher , onde pode ser qualquer número real.
Primeiro, da terceira equação:
Substituindo na segunda equação:
Agora, substituindo e na primeira equação:
Resposta
O conjunto solução do sistema é dado por todos os vetores que satisfazem: