Determine o conjunto solucä̃ dos seguintes sistemas de equasies linearus
l2 x1-3 x2+4 x3-x4=0 7 x1+x2-8 x3+9 x4=0 2 x1+8 x2+x3-x4=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações lineares que você mandou. O sistema tem 3 equações com 4 incógnitas ( x1, x2, x3, x4). Nosso objetivo é encontrar todas as soluções que satisfazem as três equações ao mesmo tempo. Para isso, vamos usar o método da eliminação de Gauss, que ajuda a simplificar o sistema para descobrir as relações entre as variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos representar o sistema de equações em forma de matriz aumentada. A matriz aumentada é uma maneira organizada de visualizar todas as equações juntas:
2 & -3 & 4 & -1 & | & 0 7 & 1 & -8 & 9 & | & 0 2 & 8 & 1 & -1 & | & 0

Passo 3

Agora, vamos usar operações elementares de linha para simplificar essa matriz. O objetivo é transformar a matriz em uma forma mais simples, onde seja fácil ver as relações entre as variáveis.
Primeiro, vamos tornar o primeiro elemento (pivot) da primeira linha igual a 1. Para isso, dividimos toda a primeira linha por 2:
1 & -1.5 & 2 & -0.5 & | & 0 7 & 1 & -8 & 9 & | & 0 2 & 8 & 1 & -1 & | & 0

Passo 4

Em seguida, eliminamos o coeficiente abaixo do pivot (1) na primeira coluna. Para isso, subtraímos 7 vezes a primeira linha da segunda linha e 2 vezes a primeira linha da terceira linha:
Segunda linha: R2 = R2 - 7R1
Terceira linha: R3 = R3 - 2R1
Após essas operações, a matriz fica assim:
1 & -1.5 & 2 & -0.5 & | & 0 0 & 11.5 & -22 & 12.5 & | & 0 0 & 11 & -3 & 0 & | & 0

Passo 5

Agora, vamos focar na segunda coluna. Queremos que o pivô da segunda linha seja 1. Dividimos toda a segunda linha por 11.5:
1 & -1.5 & 2 & -0.5 & | & 0 0 & 1 & -2211.5 & 12.511.5 & | & 0 0 & 11 & -3 & 0 & | & 0
Simplificando as frações:
1 & -1.5 & 2 & -0.5 & | & 0 0 & 1 & -1.913 & 1.087 & | & 0 0 & 11 & -3 & 0 & | & 0

Passo 6

Vamos eliminar o coeficiente abaixo do pivô na segunda coluna. Subtraímos 11 vezes a segunda linha da terceira linha:
R3 = R3 - 11R2
Resultado:
1 & -1.5 & 2 & -0.5 & | & 0 0 & 1 & -1.913 & 1.087 & | & 0 0 & 0 & 20.043 & -11.957 & | & 0

Passo 7

Agora, vamos simplificar a terceira linha para obter o pivô igual a 1. Dividimos toda a terceira linha por 20.043:
1 & -1.5 & 2 & -0.5 & | & 0 0 & 1 & -1.913 & 1.087 & | & 0 0 & 0 & 1 & -0.596 & | & 0

Passo 8

Com a matriz na forma escalonada, podemos escrever as equações correspondentes:
x1 - 1.5x2 + 2x3 - 0.5x4 = 0 x2 - 1.913x3 + 1.087x4 = 0 x3 - 0.596x4 = 0

Passo 9

Vamos expressar as variáveis em termos das variáveis livres. Observamos que temos 4 variáveis e 3 equações, então temos 1 variável livre. Vamos escolher x4 = t, onde t pode ser qualquer número real.
Primeiro, da terceira equação:
x3 = 0.596t
Substituindo x3 na segunda equação:
x2 - 1.913(0.596t) + 1.087t = 0 x2 = (1.913 times 0.596 - 1.087)t x2 = (1.140548 - 1.087)t x2 = 0.053548t
Agora, substituindo x2 e x3 na primeira equação:
x1 - 1.5(0.053548t) + 2(0.596t) - 0.5t = 0 x1 = 1.5 times 0.053548t - 2 times 0.596t + 0.5t x1 = 0.080322t - 1.192t + 0.5t x1 = -0.611678t

Resposta

O conjunto solução do sistema é dado por todos os vetores (x1, x2, x3, x4) que satisfazem:
x1 = -0.611678t x2 = 0.053548t x3 = 0.596t x4 = t , t in R
Ou, de forma vetorial:

[
x1 x2 x3 x4 = t -0.611678 0.053548 0.596 1 , t in R

t , \quad t \in \mathbb{R}
]

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