(18,0 pontos) Analise a convergência das séries abaixo (não é necessário determinar o valor da soma).
sumn=1^infty 1raiz[3]n^2 ln (n),

Passo 1

Vamos analisar a convergência da série . Estamos trabalhando com séries infinitas, e para verificar se uma série converge, precisamos aplicar alguns testes de convergência. Vamos utilizar o Teste da Integral para isso.

Passo 2

Primeiro, simplificamos a expressão da série. Sabemos que sumn=1^infty 1n^2/3 ln(n) , então a série fica:
Isso nos ajuda a visualizar melhor o comportamento dos termos da série.

Passo 3

Agora, aplicamos o Teste da Integral, que nos diz que se a função for contínua, positiva e decrescente para (onde é algum número natural), então a série converge se e somente se a integral converge.

Passo 4

Vamos verificar se atende às condições:
  • Contínua: Sim, para , já que e são contínuas.
  • Positiva: Sim, pois e para .
  • Decrescente: Sim, conforme aumenta, diminui.

Passo 5

Agora, calculamos a integral correspondente:
integral2^infty 1x^2/3 ln(x) dx
Escolhemos como limite inferior para evitar o problema em , onde .

Passo 6

Para resolver essa integral, fazemos uma substituição:
Seja integral 1x^2/3 u cdot x du = integral x^1 - 2/3u du = integral x^1/3u du , então integral e^u/3u du , o que implica .
Substituindo na integral:
Mas , então:
Essa integral não tem uma antiderivada elementar e diverge à medida que tende ao infinito.

Passo 7

Como a integral diverge, pelo Teste da Integral, a série também diverge.

Resposta

A série não converge.

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