(18,0 pontos) Analise a convergência das séries abaixo (não é necessário determinar o valor da soma).
,
Passo 1
Vamos analisar a convergência da série
. Estamos trabalhando com séries infinitas, e para verificar se uma série converge, precisamos aplicar alguns testes de convergência. Vamos utilizar o Teste da Integral para isso.
Passo 2
Primeiro, simplificamos a expressão da série. Sabemos que
, então a série fica:
Isso nos ajuda a visualizar melhor o comportamento dos termos da série.
Passo 3
Agora, aplicamos o Teste da Integral, que nos diz que se a função
for contínua, positiva e decrescente para
(onde
é algum número natural), então a série
converge se e somente se a integral
converge.
Passo 4
Vamos verificar se
atende às condições:
- Contínua: Sim, para
, já que e são contínuas. - Positiva: Sim, pois
e para . - Decrescente: Sim, conforme
aumenta, diminui.
Passo 5
Agora, calculamos a integral correspondente:
Escolhemos
como limite inferior para evitar o problema em
, onde
.
Passo 6
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição:
Seja , então
, o que implica
.
Substituindo na integral:
Seja
Substituindo na integral:
Mas
, então:
Essa integral não tem uma antiderivada elementar e diverge à medida que
tende ao infinito.
Passo 7
Como a integral
diverge, pelo Teste da Integral, a série
também diverge.
Resposta
A série
não converge.
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