Calcule a integral indefinida como uma série de potências. Qual é o raio de convergência?
Dica: Primeiro expresse o integrando como a soma de uma série de potências. Depois integre esta representação no seu intervalo de convergência.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral indefinida de usando uma série de potências e encontrar o raio de convergência dessa série. Para isso, vamos usar conhecimentos de séries de potências e integração termo a termo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a série de potências da função . A série de Taylor para é:
Essa série é válida para .

Passo 3

Agora, queremos expressar o integrando como uma série de potências. Basta dividir cada termo da série de por :

Passo 4

Agora, vamos integrar essa série termo a termo. A integração de uma série de potências é feita integrando cada termo individualmente:

Passo 5

Integrando cada termo:
Portanto, a integral fica:

Passo 6

Para encontrar o raio de convergência dessa série, observamos que a série original da converge para . Como não houve alterações que afetariam o intervalo de convergência ao dividir por e integrar termo a termo, o raio de convergência permanece o mesmo, ou seja, .

Resposta

A integral indefinida é:
E o raio de convergência dessa série é .

Exercícios relacionados

Use a equação
para determinar uma representação em série de potências para . Qual é o raio de convergência?
Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o intervalo de convergência. (Dica: use a série geométrica).
EDO de primeira ordem linear Qual é a solução geral da EDO ?
(18,0 pontos) Analise a convergência das séries abaixo (não é necessário determinar o valor da soma).
,