Calcule a integral indefinida como uma série de potências. Qual é o raio de convergência?
Dica: Primeiro expresse o integrando como a soma de uma série de potências. Depois integre esta representação no seu intervalo de convergência.
Dica: Primeiro expresse o integrando como a soma de uma série de potências. Depois integre esta representação no seu intervalo de convergência.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral indefinida de
usando uma série de potências e encontrar o raio de convergência dessa série. Para isso, vamos usar conhecimentos de séries de potências e integração termo a termo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a série de potências da função
. A série de Taylor para
é:
Essa série é válida para
.
Passo 3
Agora, queremos expressar o integrando
como uma série de potências. Basta dividir cada termo da série de
por
:
Passo 4
Agora, vamos integrar essa série termo a termo. A integração de uma série de potências é feita integrando cada termo individualmente:
Passo 5
Integrando cada termo:
Portanto, a integral fica:
Passo 6
Para encontrar o raio de convergência dessa série, observamos que a série original da
converge para
. Como não houve alterações que afetariam o intervalo de convergência ao dividir por
e integrar termo a termo, o raio de convergência permanece o mesmo, ou seja,
.
Resposta
A integral indefinida é:
E o raio de convergência dessa série é
.