Calcule a integral indefinida como uma série de potências. Qual é o raio de convergência? integral arctan xx d x
Dica: Primeiro expresse o integrando como a soma de uma série de potências. Depois integre esta representação no seu intervalo de convergência.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral indefinida de usando uma série de potências e encontrar o raio de convergência dessa série. Para isso, vamos usar conhecimentos de séries de potências e integração termo a termo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a série de potências da função arctan x = sumn=0^infty (-1)^n x^2n+12n+1 . A série de Taylor para é:
Essa série é válida para .

Passo 3

Agora, queremos expressar o integrando arctan xx = sumn=0^infty (-1)^n x^2n+12n+1 cdot 1x = sumn=0^infty (-1)^n x^2n2n+1 como uma série de potências. Basta dividir cada termo da série de por :

Passo 4

Agora, vamos integrar essa série termo a termo. A integração de uma série de potências é feita integrando cada termo individualmente:
integral arctan xx , dx = integral sumn=0^infty (-1)^n x^2n2n+1 , dx = sumn=0^infty (-1)^n integral x^2n2n+1 , dx

Passo 5

Integrando cada termo:
integral x^2n2n+1 , dx = x^2n+1(2n+1)^2 + C
Portanto, a integral fica:
integral arctan xx , dx = sumn=0^infty (-1)^n x^2n+1(2n+1)^2 + C

Passo 6

Para encontrar o raio de convergência dessa série, observamos que a série original da converge para . Como não houve alterações que afetariam o intervalo de convergência ao dividir por e integrar termo a termo, o raio de convergência permanece o mesmo, ou seja, .

Resposta

A integral indefinida é:
integral arctan xx , dx = sumn=0^infty (-1)^n x^2n+1(2n+1)^2 + C
E o raio de convergência dessa série é .

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