(18,0 pontos) Analise a convergência das séries abaixo (não é necessário determinar o valor da soma).
,
Passo 1
Beleza, vamos analisar a convergência da série
. O conteúdo envolve o estudo de séries infinitas e os testes de convergência. Para resolver isso, vamos precisar usar o Teste da Integral, que nos ajuda a determinar se a série converge ou diverge.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a função geral da série:
. Para aplicar o Teste da Integral, precisamos que essa função seja contínua, positiva e decrescente para
.
Passo 3
Vamos verificar se
é positiva para
:
é positiva para
, então
é positiva quando
, ou seja, para
(aproximadamente 2,718). Como estamos começando em
, que é menor que
, mas a série começa em
, consideramos que a expressão é positiva a partir de
.
Passo 4
Agora, vamos mostrar que a função é decrescente. Vamos derivar
em relação a
e verificar se a derivada é negativa para
.
Passo 5
Calculando a derivada:
Como
, todas as partes da expressão são positivas, então
. Portanto,
é decrescente para
.
Passo 6
Agora que confirmamos que a função é contínua, positiva e decrescente para
, podemos aplicar o Teste da Integral. Segundo esse teste, se a integral de
de 3 até o infinito converge, então a série também converge; se diverge, a série diverge.
Passo 7
Vamos calcular a integral:
Fazendo a substituição
, temos
. Assim, a integral se torna:
Essa integral é igual a
avaliada de
até o infinito, o que tende a infinito. Portanto, a integral diverge.
Resposta
Como a integral associada diverge, pelo Teste da Integral, a série
diverge.
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