(18,0 pontos) Analise a convergência das séries abaixo (não é necessário determinar o valor da soma).
sumn=2^infty 1n(ln n-1),

Passo 1

Beleza, vamos analisar a convergência da série . O conteúdo envolve o estudo de séries infinitas e os testes de convergência. Para resolver isso, vamos precisar usar o Teste da Integral, que nos ajuda a determinar se a série converge ou diverge.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função geral da série: . Para aplicar o Teste da Integral, precisamos que essa função seja contínua, positiva e decrescente para .

Passo 3

Vamos verificar se é positiva para :
é positiva para , então é positiva quando , ou seja, para (aproximadamente 2,718). Como estamos começando em , que é menor que , mas a série começa em , consideramos que a expressão é positiva a partir de .

Passo 4

Agora, vamos mostrar que a função é decrescente. Vamos derivar em relação a e verificar se a derivada é negativa para .

Passo 5

Calculando a derivada:
a'(n) = ddn ( 1n(ln n - 1) ) = -ln nn^2 (ln n - 1)^2
Como , todas as partes da expressão são positivas, então . Portanto, é decrescente para .

Passo 6

Agora que confirmamos que a função é contínua, positiva e decrescente para , podemos aplicar o Teste da Integral. Segundo esse teste, se a integral de de 3 até o infinito converge, então a série também converge; se diverge, a série diverge.

Passo 7

Vamos calcular a integral:
integral3^infty 1n(ln n - 1) , dn
Fazendo a substituição integralu(3)^infty 1u , du = integralln 3 - 1^infty 1u , du , temos . Assim, a integral se torna:
Essa integral é igual a avaliada de até o infinito, o que tende a infinito. Portanto, a integral diverge.

Resposta

Como a integral associada diverge, pelo Teste da Integral, a série diverge.

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