EDO de primeira ordem linear Qual é a solução geral da EDO
?
Passo 1
Neste exercício, queremos encontrar a solução geral da Equação Diferencial Ordinária (EDO) de primeira ordem linear dada por:
Para resolver essa EDO, vamos utilizar o método do fator integrante, que é uma técnica padrão para resolver equações lineares de primeira ordem.
Passo 2
Primeiro, identificamos os coeficientes da equação. A EDO está na forma padrão:
Aqui, temos:
Passo 3
Em seguida, calculamos o fator integrante
, que é dado por:
Substituindo
:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante
:
Passo 5
Observamos que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto
:
Isso ocorre porque o fator integrante foi escolhido exatamente para transformar a equação nessa forma.
Passo 6
Integramos ambos os lados da equação em relação a
:
Simplificando:
onde
é a constante de integração.
Passo 7
Resolvemos a integral à direita usando a técnica de integração por partes, onde escolhemos:
Calculando
e
:
Aplicando a fórmula de integração por partes
:
Multiplicando por 6:
Passo 8
Substituímos de volta na equação:
Passo 9
Finalmente, isolamos
dividindo ambos os lados por
:
Resposta
A solução geral da EDO
é:
Onde
é uma constante arbitrária.
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,
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