EDO de primeira ordem linear Qual é a solução geral da EDO ?

Passo 1

Neste exercício, queremos encontrar a solução geral da Equação Diferencial Ordinária (EDO) de primeira ordem linear dada por:
Para resolver essa EDO, vamos utilizar o método do fator integrante, que é uma técnica padrão para resolver equações lineares de primeira ordem.

Passo 2

Primeiro, identificamos os coeficientes da equação. A EDO está na forma padrão:
Aqui, temos:

Passo 3

Em seguida, calculamos o fator integrante , que é dado por:
Substituindo :

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante :

Passo 5

Observamos que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto :
Isso ocorre porque o fator integrante foi escolhido exatamente para transformar a equação nessa forma.

Passo 6

Integramos ambos os lados da equação em relação a :
Simplificando:
onde é a constante de integração.

Passo 7

Resolvemos a integral à direita usando a técnica de integração por partes, onde escolhemos:
Calculando e :
Aplicando a fórmula de integração por partes :
Multiplicando por 6:

Passo 8

Substituímos de volta na equação:

Passo 9

Finalmente, isolamos dividindo ambos os lados por :

Resposta

A solução geral da EDO é:
Onde é uma constante arbitrária.

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,
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