(18,0 pontos) Analise a convergência das séries abaixo (não é necessário determinar o valor da soma).
sumn=3^infty n sin (1n)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a série infinita sumn=3^infty n sin(1n). O conteúdo envolve o estudo da convergência de séries. Para resolver isso, vamos precisar de alguns testes de convergência de séries, como o Teste da Divergência.

Passo 2

Vamos analisar o termo geral da série, que é an = n sin(1n). Para entender o comportamento dessa série, é útil determinar o limite de an quando n tende ao infinito.

Passo 3

Calculamos o limite de an:
limn to infty n sin(1n)
Sabemos que, para valores pequenos de x, sin(x) approx x. Portanto:
n sin(1n) approx n cdot 1n = 1

Passo 4

Como o limite de an é 1, que é diferente de zero, a série não converge segundo o Teste da Divergência.
O Teste da Divergência afirma que se limn to infty an neq 0, então a série sum an diverge.

Resposta

A série sumn=3^infty n sin(1n) diverge.

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