(18,0 pontos) Analise a convergência das séries abaixo (não é necessário determinar o valor da soma).
sumn=1^infty(-1)^n ln (3 n)n

Passo 1

Então, a gente tem uma série infinita: . O que precisamos aqui é analisar se essa série converge ou não. Para isso, vamos usar alguns conceitos de séries alternadas e testes de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que a série é alternada por causa do termo . Séries alternadas têm termos que mudam de sinal a cada termo. Para verificar a convergência delas, usamos o Teste da Série Alternada.

Passo 3

O Teste da Série Alternada diz que uma série do tipo converge se duas condições forem atendidas:
  1. Os termos tendem a zero quando vai para o infinito.
  2. Os termos são decrescentes.
Vamos verificar essas duas condições:

Passo 4

Primeiro, olhamos para limn to infty ln(3n)n = limn to infty ln 3 + ln nn = limn to infty ln nn = 0 . Precisamos ver se .
Calculando o limite:
Então, a primeira condição está satisfeita.

Passo 5

Agora, vamos verificar se os termos ddn ( ln(3n)n ) = 1/nn - ln(3n)n^2 = 1 - ln(3n)n^2 são decrescentes. Para isso, calculamos a derivada de em relação a e verificamos se é negativa.
Calculando a derivada:
Para , , então a derivada é negativa, o que significa que é decrescente.

Passo 6

Como as duas condições do Teste da Série Alternada são satisfeitas, podemos concluir que a série converge.

Passo 7

Agora, vamos verificar se a série converge de forma absoluta. Para isso, analisamos a série dos valores absolutos: .

Passo 8

Para a série integral1^infty ln(3x)x dx = integral1^infty ln 3 + ln xx dx = ln 3 integral1^infty 1x dx + integral1^infty ln xx dx , usamos o Teste da Integral. Integramos de 1 a infinito:
Ambas as integrais divergem, então a série dos valores absolutos diverge.

Resposta

A série converge condicionalmente.

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