(18,0 pontos) Analise a convergência das séries abaixo (não é necessário determinar o valor da soma).
Passo 1
Então, a gente tem uma série infinita:
. O que precisamos aqui é analisar se essa série converge ou não. Para isso, vamos usar alguns conceitos de séries alternadas e testes de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar que a série é alternada por causa do termo
. Séries alternadas têm termos que mudam de sinal a cada termo. Para verificar a convergência delas, usamos o Teste da Série Alternada.
Passo 3
O Teste da Série Alternada diz que uma série do tipo
converge se duas condições forem atendidas:
- Os termos
tendem a zero quando vai para o infinito. - Os termos
são decrescentes.
Vamos verificar essas duas condições:
Passo 4
Primeiro, olhamos para
. Precisamos ver se
.
Calculando o limite:
Então, a primeira condição está satisfeita.
Passo 5
Agora, vamos verificar se os termos
são decrescentes. Para isso, calculamos a derivada de
em relação a
e verificamos se é negativa.
Calculando a derivada:
Para
,
, então a derivada é negativa, o que significa que
é decrescente.
Passo 6
Como as duas condições do Teste da Série Alternada são satisfeitas, podemos concluir que a série
converge.
Passo 7
Agora, vamos verificar se a série converge de forma absoluta. Para isso, analisamos a série dos valores absolutos:
.
Passo 8
Para a série
, usamos o Teste da Integral. Integramos
de 1 a infinito:
Ambas as integrais divergem, então a série dos valores absolutos diverge.
Resposta
A série
converge condicionalmente.
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,
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(6,0 pontos) Expanda a função
em série de potência com centro em
.