(6,0 pontos) Determine o intervalo de convergência da série de potência abaixo:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente encontrar o intervalo de convergência dessa série de potência:
Aqui, o conteúdo que vamos usar é o Teste da Razão para séries de potência, que nos ajuda a determinar onde a série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste diz que a série
converge se o limite
for menor que 1.

Passo 3

Vamos calcular esse limite para a nossa série. Nosso termo geral é:
Então, o próximo termo será:
Agora, calculamos a razão:
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite quando tende ao infinito:
Para a série convergir, precisamos que :

Passo 5

Resolvendo a desigualdade :
Então, o intervalo de convergência é de 0 a 10.

Resposta

O intervalo de convergência da série é .

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