(6,0 pontos) Determine o intervalo de convergência da série de potência abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente encontrar o intervalo de convergência dessa série de potência:
Aqui, o conteúdo que vamos usar é o Teste da Razão para séries de potência, que nos ajuda a determinar onde a série converge.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste diz que a série
converge se o limite
for menor que 1.
Passo 3
Vamos calcular esse limite para a nossa série. Nosso termo geral é:
Então, o próximo termo será:
Agora, calculamos a razão:
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite quando
L = limn to infty |x-5|5 cdot nn+1 = |x-5|5 cdot 1 = |x-5|5 tende ao infinito:
Para a série convergir, precisamos que
:
Passo 5
Resolvendo a desigualdade
-5 < x - 5 < 5 implies 0 < x < 10 :
Então, o intervalo de convergência é de 0 a 10.
Resposta
O intervalo de convergência da série é
.