(6,0 pontos) Determine o intervalo de convergência da série de potência abaixo:
sumn=0^infty(-1)^n (x-5)^nn 5^n+1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente encontrar o intervalo de convergência dessa série de potência:
sumn=0^infty(-1)^n (x-5)^nn cdot 5^n+1
Aqui, o conteúdo que vamos usar é o Teste da Razão para séries de potência, que nos ajuda a determinar onde a série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste diz que a série
sum an
converge se o limite
L = limn to infty | an+1an |
for menor que 1.

Passo 3

Vamos calcular esse limite para a nossa série. Nosso termo geral é:
an = (-1)^n (x-5)^nn cdot 5^n+1
Então, o próximo termo será:
an+1 = (-1)^n+1 (x-5)^n+1(n+1) cdot 5^n+2
Agora, calculamos a razão:
| an+1an | = | (-1)^n+1 (x-5)^n+1(n+1) 5^n+2 cdot n cdot 5^n+1(-1)^n (x-5)^n |
Simplificando:
= | (x-5) cdot n5 (n+1) | = |x-5|5 cdot nn+1

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite quando L = limn to infty |x-5|5 cdot nn+1 = |x-5|5 cdot 1 = |x-5|5 tende ao infinito:
|x-5|5 < 1 implies |x-5| < 5
Para a série convergir, precisamos que :

Passo 5

Resolvendo a desigualdade -5 < x - 5 < 5 implies 0 < x < 10 :
Então, o intervalo de convergência é de 0 a 10.

Resposta

O intervalo de convergência da série é .

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