(6,0 pontos) Expanda a função
em série de potência com centro em
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que expandir a função
em uma série de potência com o centro em
. Isso significa que queremos escrever essa função como uma soma infinita de termos envolvendo potências de
. Vamos precisar usar a fórmula de série de Taylor para isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula geral da série de Taylor para uma função
centrada em
:
No nosso caso,
e
. Vamos precisar calcular as derivadas de
e avaliá-las em
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas de
:
E assim por diante. Observamos que a
-ésima derivada de
é:
Passo 4
Agora, vamos avaliar essas derivadas em
:
E assim por diante.
Passo 5
Substituindo esses valores na fórmula da série de Taylor:
Então:
Simplificando:
Resposta
A expansão da função
em série de potência com centro em
é: