(6,0 pontos) Expanda a função f(x) = 1/x em série de potência com centro em x = 2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que expandir a função em uma série de potência com o centro em . Isso significa que queremos escrever essa função como uma soma infinita de termos envolvendo potências de . Vamos precisar usar a fórmula de série de Taylor para isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula geral da série de Taylor para uma função centrada em :
No nosso caso, e . Vamos precisar calcular as derivadas de e avaliá-las em .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de :
E assim por diante. Observamos que a -ésima derivada de é:

Passo 4

Agora, vamos avaliar essas derivadas em :
E assim por diante.

Passo 5

Substituindo esses valores na fórmula da série de Taylor:
Então:
Simplificando:

Resposta

A expansão da função em série de potência com centro em é:

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