[18 pontos] Assinale V ou F:
(II) [ ]
e
formam um conjunto fundamental de soluções para
;
(II) [ ]
Passo 1
Vamos analisar a afirmação: “y₁(x) = cos(4x) e y₂(x) = sin(4x) formam um conjunto fundamental de soluções para y’’ + 4y = 0.” Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem. Para verificar se
e
formam um conjunto fundamental de soluções, precisamos confirmar dois pontos principais:
- Que ambas as funções são soluções da equação diferencial dada.
- Que essas soluções são linearmente independentes.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se
é uma solução da equação
.
Calculando a segunda derivada de
:
Substituindo na equação diferencial:
Portanto,
não satisfaz a equação diferencial.
Passo 3
Agora, vamos verificar
.
Calculando a segunda derivada de
:
Substituindo na equação diferencial:
Assim,
não satisfaz a equação diferencial.
Passo 4
Como nenhuma das funções
e
satisfazem a equação diferencial
, não faz sentido verificar a independência linear. Portanto, elas não formam um conjunto fundamental de soluções para a equação dada.
Resposta
Falsa.
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;
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;
(III) [ ] Um fator integrante para EDO
[30 pontos] Em cada item, faça o que se pede.
(a) pontos
Determine a solução da EDO
.
(a)
Calcule as derivadas abaixo:
(h)
(h)