[30 pontos] Em cada item, faça o que se pede.
(a) 13 pontos ] Determine a solução da EDO y' + y = cos x - sen x.

Passo 1

Estamos lidando com uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) de primeira ordem, especificamente do tipo linear. O enunciado nos pede para determinar a solução da EDO . Para resolver essa equação, vamos precisar aplicar o método do fator integrante, que é uma técnica eficaz para encontrar soluções de equações lineares de primeira ordem.

Passo 2

Primeiro, reconhecemos que a equação está na forma padrão de uma EDO linear de primeira ordem:
Aqui, e .

Passo 3

O próximo passo é encontrar o fator integrante , que é dado por:
Substituindo :

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
O lado esquerdo da equação agora se torna a derivada do produto :

Passo 5

Integrando ambos os lados em relação a :
O lado esquerdo simplifica para:
onde é a constante de integração.

Passo 6

Vamos resolver a integral no lado direito. Observamos que:
Sabemos que:
Portanto:

Passo 7

Substituindo de volta na equação:
Agora, isolamos :

Resposta

A solução geral da EDO é:
onde é uma constante arbitrária.

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