[30 pontos] Em cada item, faça o que se pede.
(a)
pontos
Determine a solução da EDO
.
(a)
Passo 1
Estamos lidando com uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) de primeira ordem, especificamente do tipo linear. O enunciado nos pede para determinar a solução da EDO
. Para resolver essa equação, vamos precisar aplicar o método do fator integrante, que é uma técnica eficaz para encontrar soluções de equações lineares de primeira ordem.
Passo 2
Primeiro, reconhecemos que a equação está na forma padrão de uma EDO linear de primeira ordem:
Aqui,
e
.
Passo 3
O próximo passo é encontrar o fator integrante
, que é dado por:
Substituindo
:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
O lado esquerdo da equação agora se torna a derivada do produto
:
Passo 5
Integrando ambos os lados em relação a
:
O lado esquerdo simplifica para:
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Vamos resolver a integral no lado direito. Observamos que:
Sabemos que:
Portanto:
Passo 7
Substituindo de volta na equação:
Agora, isolamos
:
Resposta
A solução geral da EDO
é:
onde
é uma constante arbitrária.
Exercícios relacionados
[18 pontos] Assinale V ou F:
(II) [ ] e
formam um conjunto fundamental de soluções para
;
(II) [ ]
[18 pontos] Assinale V ou F:
(I) [ ] A solução geral da EDO é
;
(I) [ ] A solução geral da EDO
Calcule as derivadas abaixo:
(h)
(h)
Encontre as funções
e
e seus domínios.
.