[18 pontos] Assinale V ou F:
(II) [ ] y1(x) = e^x e y2(x) = x * e^x formam um conjunto fundamental de soluções para y'' - y' + 1/4 y = 0;

Passo 1

Vamos analisar a afirmação que diz que as funções e formam um conjunto fundamental de soluções para a equação diferencial . Para isso, precisamos entender o que significa um conjunto fundamental de soluções e verificar se essas funções realmente satisfazem a equação dada.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação diferencial homogênea . Para encontrar as soluções, começamos escrevendo a equação característica associada:

Passo 3

Resolvendo a equação característica:
Como temos uma raiz dupla , as soluções gerais da equação diferencial são:

Passo 4

Agora, comparando com as funções fornecidas na afirmação:
Observamos que os expoentes são diferentes. Enquanto as soluções corretas possuem , as funções dadas na afirmação têm .

Passo 5

Para confirmar, vamos substituir na equação diferencial:
Isso mostra que não satisfaz a equação diferencial dada.

Resposta

F

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