[18 pontos] Assinale V ou F:
(II) [ ]
e
formam um conjunto fundamental de soluções para
;
(II) [ ]
Passo 1
Vamos analisar a afirmação que diz que as funções
e
formam um conjunto fundamental de soluções para a equação diferencial
. Para isso, precisamos entender o que significa um conjunto fundamental de soluções e verificar se essas funções realmente satisfazem a equação dada.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação diferencial homogênea
. Para encontrar as soluções, começamos escrevendo a equação característica associada:
Passo 3
Resolvendo a equação característica:
Como temos uma raiz dupla
, as soluções gerais da equação diferencial são:
Passo 4
Agora, comparando com as funções fornecidas na afirmação:
Observamos que os expoentes são diferentes. Enquanto as soluções corretas possuem
, as funções dadas na afirmação têm
.
Passo 5
Para confirmar, vamos substituir
na equação diferencial:
Isso mostra que
não satisfaz a equação diferencial dada.
Resposta
F