Discorra sobre o método de integrais fatorizante para resolver equações diferenciais de primeira ordem.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para falar sobre o método das integrais fatorizantes para resolver equações diferenciais de primeira ordem. Basicamente, vamos ver como transformar uma equação diferencial simples em uma forma que a gente consegue resolver mais facilmente usando um fator que “ajuda” a integrar a equação. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais lineares e como aplicar o fator integrante nelas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma equação diferencial de primeira ordem linear tem a forma geral:
Aqui, e são funções de . Nosso objetivo é encontrar uma função que satisfaça essa equação.

Passo 3

O próximo passo é encontrar o fator integrante, que é essencialmente uma função que multiplicamos em toda a equação para que o lado esquerdo se torne a derivada de um produto de funções, facilitando a integração. O fator integrante é dado por:

Passo 4

Agora, vamos multiplicar toda a equação original pelo fator integrante :
O lado esquerdo agora se transforma na derivada do produto :

Passo 5

Com a equação nesse formato, podemos integrar ambos os lados em relação a :
A integral do lado esquerdo simplesmente retorna :
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Finalmente, isolamos para encontrar a solução geral da equação diferencial:
Essa é a solução usando o método da integral fatorizante. A gente aplicou um fator que nos permitiu transformar a equação em uma forma integrável, facilitando a obtenção da solução geral.

Resposta

Assim, utilizando o método das integrais fatorizantes, a solução geral da equação diferencial de primeira ordem é:
Onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados

[18 pontos] Assinale V ou F:
(II) [ ] e formam um conjunto fundamental de soluções para ;
(Velocidade Terminal) Uma esfera de massa e raio cai através de um fluido viscoso. Sua velocidade ao longo do tempo é modelada pela função , onde é a velocidade terminal e é uma constante de tempo dependente do fluido e do tamanho da esfera. Qual será o valor da velocidade limite da velocidade conforme assume valores muito grandes?
[30 pontos] Considere a EDO . Em cada item, faça o que se pede.
© pontos Determine a solução geral da EDO não-homogênea.
Encontre equações para a reta tangente e para a reta normal à curva no ponto dado. ,