Discorra sobre o método de integrais fatorizante para resolver equações diferenciais de primeira ordem.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para falar sobre o método das integrais fatorizantes para resolver equações diferenciais de primeira ordem. Basicamente, vamos ver como transformar uma equação diferencial simples em uma forma que a gente consegue resolver mais facilmente usando um fator que “ajuda” a integrar a equação. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais lineares e como aplicar o fator integrante nelas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma equação diferencial de primeira ordem linear tem a forma geral:
Aqui,
e
são funções de
. Nosso objetivo é encontrar uma função
que satisfaça essa equação.
Passo 3
O próximo passo é encontrar o fator integrante, que é essencialmente uma função que multiplicamos em toda a equação para que o lado esquerdo se torne a derivada de um produto de funções, facilitando a integração. O fator integrante
é dado por:
Passo 4
Agora, vamos multiplicar toda a equação original pelo fator integrante
:
O lado esquerdo agora se transforma na derivada do produto
:
Passo 5
Com a equação nesse formato, podemos integrar ambos os lados em relação a
:
A integral do lado esquerdo simplesmente retorna
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Finalmente, isolamos
para encontrar a solução geral da equação diferencial:
Essa é a solução usando o método da integral fatorizante. A gente aplicou um fator que nos permitiu transformar a equação em uma forma integrável, facilitando a obtenção da solução geral.
Resposta
Assim, utilizando o método das integrais fatorizantes, a solução geral da equação diferencial de primeira ordem
é:
Onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
[18 pontos] Assinale V ou F:
(II) [ ] e
formam um conjunto fundamental de soluções para
;
(II) [ ]
(Velocidade Terminal) Uma esfera de massa
e raio
cai através de um fluido viscoso. Sua velocidade
ao longo do tempo
é modelada pela função
, onde
é a velocidade terminal e
é uma constante de tempo dependente do fluido e do tamanho da esfera. Qual será o valor da velocidade limite da velocidade conforme
assume valores muito grandes?
[30 pontos] Considere a EDO
. Em cada item, faça o que se pede.
© pontos
Determine a solução geral da EDO não-homogênea.
©
Encontre equações para a reta tangente e para a reta normal à curva no ponto dado.
,