(Velocidade Terminal) Uma esfera de massa
e raio
cai através de um fluido viscoso. Sua velocidade
ao longo do tempo
é modelada pela função
, onde
é a velocidade terminal e
é uma constante de tempo dependente do fluido e do tamanho da esfera. Qual será o valor da velocidade limite da velocidade conforme
assume valores muito grandes?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre a velocidade de uma esfera que está caindo através de um fluido viscoso. A função que descreve a velocidade ao longo do tempo é
. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a velocidade limite, ou seja, o valor que a velocidade
se aproxima quando o tempo
fica muito grande. Para resolver isso, vamos precisar entender o conceito de limite em funções e como aplicar isso na equação dada.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a velocidade limite quando
se torna muito grande. Em matemática, quando queremos saber para onde uma função se dirige à medida que a variável independente (neste caso, o tempo
) cresce sem parar, usamos o conceito de limite.
Passo 3
A função que temos é
. Queremos encontrar
. Isso significa que vamos observar o comportamento de
quando
tende ao infinito.
Passo 4
Vamos analisar cada parte da função separadamente. O termo
é uma função exponencial onde, conforme
aumenta, o expoente
se torna mais negativo. Sabemos que
elevado a um número muito negativo se aproxima de zero.
Passo 5
Portanto,
. Isso simplifica nossa função para:
Resposta
A velocidade limite é
.
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(Crescimento Populacional) Em um estudo sobre crescimento populacional de uma cidade, observa-se que a população
cresce ao longo do tempo
, em anos, de acordo com a função
. O que acontece com esta função quando
cresce?
[18 pontos] Assinale V ou F:
(II) [ ] e
formam um conjunto fundamental de soluções para
;
(II) [ ]
Discorra sobre o método de integrais fatorizante para resolver equações diferenciais de primeira ordem.