(Velocidade Terminal) Uma esfera de massa m e raio r cai através de um fluido viscoso. Sua velocidade v(t) ao longo do tempo t é modelada pela função v(t) = v_infinito * (1 - e^(-t/tau)), onde v_infinito é a velocidade terminal e tau é uma constante de tempo dependente do fluido e do tamanho da esfera. Qual será o valor da velocidade limite da velocidade conforme t assume valores muito grandes?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre a velocidade de uma esfera que está caindo através de um fluido viscoso. A função que descreve a velocidade ao longo do tempo é . Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a velocidade limite, ou seja, o valor que a velocidade v(t) se aproxima quando o tempo t fica muito grande. Para resolver isso, vamos precisar entender o conceito de limite em funções e como aplicar isso na equação dada.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a velocidade limite quando t se torna muito grande. Em matemática, quando queremos saber para onde uma função se dirige à medida que a variável independente (neste caso, o tempo t) cresce sem parar, usamos o conceito de limite.

Passo 3

A função que temos é . Queremos encontrar . Isso significa que vamos observar o comportamento de v(t) quando t tende ao infinito.

Passo 4

Vamos analisar cada parte da função separadamente. O termo é uma função exponencial onde, conforme t aumenta, o expoente se torna mais negativo. Sabemos que e elevado a um número muito negativo se aproxima de zero.

Passo 5

Portanto, . Isso simplifica nossa função para:

Resposta

A velocidade limite é v_infinito.

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