[30 pontos] Considere a EDO
. Em cada item, faça o que se pede.
©
pontos
Determine a solução geral da EDO não-homogênea.
©
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial
. Isso pertence ao estudo de equações diferenciais ordinárias (EDOs) não-homogêneas de segunda ordem. Para resolver, precisamos achar a solução geral, que é a soma da solução da equação homogênea associada com uma solução particular da não-homogênea.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
. Para isso, usamos a equação característica, que é uma ferramenta para achar soluções de EDOs lineares com coeficientes constantes.
Passo 3
A equação característica para
é
. Resolvendo para
:
Passo 4
Com as raízes da equação característica sendo
e
, a solução geral da equação homogênea é:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 5
Agora, vamos achar uma solução particular
para a equação não-homogênea
. Como o termo do lado direito é um polinômio de grau 2, supomos que a solução particular também seja um polinômio de grau 2:
Passo 6
Vamos derivar
para substituir na equação:
Passo 7
Substituindo
,
na equação
:
Passo 8
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
Passo 9
Com os valores de
,
e
, a solução particular é:
Resposta
A solução geral da EDO
é:
Exercícios relacionados
Discorra sobre o método de integrais fatorizante para resolver equações diferenciais de primeira ordem.
[18 pontos] Assinale V ou F:
(II) [ ] e
formam um conjunto fundamental de soluções para
;
(II) [ ]
Encontre equações para a reta tangente e para a reta normal à curva no ponto dado.
,
Calcule os limites a seguir:
(g) , onde
;
(g)