[30 pontos] Considere a EDO . Em cada item, faça o que se pede.
© pontos Determine a solução geral da EDO não-homogênea.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial . Isso pertence ao estudo de equações diferenciais ordinárias (EDOs) não-homogêneas de segunda ordem. Para resolver, precisamos achar a solução geral, que é a soma da solução da equação homogênea associada com uma solução particular da não-homogênea.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada: . Para isso, usamos a equação característica, que é uma ferramenta para achar soluções de EDOs lineares com coeficientes constantes.

Passo 3

A equação característica para é . Resolvendo para :

Passo 4

Com as raízes da equação característica sendo e , a solução geral da equação homogênea é:
onde e são constantes arbitrárias.

Passo 5

Agora, vamos achar uma solução particular para a equação não-homogênea . Como o termo do lado direito é um polinômio de grau 2, supomos que a solução particular também seja um polinômio de grau 2:

Passo 6

Vamos derivar para substituir na equação:

Passo 7

Substituindo , na equação :

Passo 8

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:

Passo 9

Com os valores de , e , a solução particular é:

Resposta

A solução geral da EDO é:

Exercícios relacionados

Discorra sobre o método de integrais fatorizante para resolver equações diferenciais de primeira ordem.
[18 pontos] Assinale V ou F:
(II) [ ] e formam um conjunto fundamental de soluções para ;
Encontre equações para a reta tangente e para a reta normal à curva no ponto dado. ,
Calcule os limites a seguir:
(g) , onde ;