Um fluido tem campo de velocidades dado por
(com componentes medidas em
segundo). Se
é o hemisfério superior da esfera
, orientado com o campo normal unitário
apontando para cima, determine quantos centímetros cúbicos do fluido atravessam
por segundo. Resposta:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um fluido com um campo de velocidades dado por
em centímetros por segundo. O que a gente precisa descobrir é quantos centímetros cúbicos desse fluido estão passando por cima do hemisfério superior da esfera
a cada segundo. Para resolver isso, vamos usar conceitos de Cálculo Vetorial, especificamente o cálculo de Fluxo através de uma superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é fluxo. O fluxo mede a quantidade de fluido que passa através de uma superfície. Matematicamente, o fluxo
através de uma superfície
é dado por:
Onde:
-
é o campo de velocidades do fluido. -
é o vetor normal à superfície . -
é um elemento de área da superfície.
Passo 3
Nossa superfície
é o hemisfério superior da esfera
. Para calcular o fluxo, precisamos do vetor normal
. Como a esfera é centrada na origem, o vetor normal em qualquer ponto da superfície é simplesmente o vetor posição
normalizado. Ou seja:
Nota: Como estamos lidando com uma esfera de raio 1,
, então
.
Passo 4
Agora, vamos calcular o produto escalar
:
Portanto, o fluxo fica:
Passo 5
Para facilitar o cálculo da integral, vamos usar coordenadas esféricas, já que a superfície é uma esfera. Nas coordenadas esféricas, temos:
E o elemento de área
em coordenadas esféricas é:
Onde:
-
varia de a (já que é o hemisfério superior). -
varia de a .
Passo 6
Vamos expressar
em coordenadas esféricas:
Ent��o, o fluxo fica:
Passo 7
Vamos separar a integral em três partes:
Simplificando cada termo:
- Primeiro termo:
- Segundo termo:
- Terceiro termo:
Passo 8
Vamos resolver cada integral separadamente.
Primeiro Termo:
Porque a integral do cosseno ao longo de um período completo é zero.
Segundo Termo:
Novamente, a integral de
ao longo de
a
é zero.
Terceiro Termo:
E a integral em
:
Vamos fazer uma substituição:
, então
. Quando
,
; quando
,
.
Portanto:
Passo 9
Agora, juntando tudo:
Resposta
A quantidade de centímetros cúbicos do fluido que atravessa
por segundo é
cm³/s.
Exercícios relacionados
Determine uma parametrização para cada superfície a seguir (em particular, especifique o domínio).
A porção da esfera no primeiro octante, acima do cone
.
A porção da esfera
Calcule os limites:
h)
h)
Seja
a curva no plano
definida pelas equações
, para
. Seja
a superfície de revolução obtida ao girarmos a curva
em torno do eixo dos
.
Escreva uma parametrização para e calcule o elemento de área orientado
.
Escreva uma parametrização para
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Sabendo que , determine:
a)
Sabendo que
a)