Um fluido tem campo de velocidades dado por v(x, y, z) = (1, x, z) (com componentes medidas em cm / segundo). Se S é o hemisfério superior da esfera x^2 + y^2 + z^2 = 1, orientado com o campo normal unitário n apontando para cima, determine quantos centímetros cúbicos do fluido atravessam S por segundo. Resposta: 2 pi / 3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um fluido com um campo de velocidades dado por em centímetros por segundo. O que a gente precisa descobrir é quantos centímetros cúbicos desse fluido estão passando por cima do hemisfério superior da esfera a cada segundo. Para resolver isso, vamos usar conceitos de Cálculo Vetorial, especificamente o cálculo de Fluxo através de uma superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é fluxo. O fluxo mede a quantidade de fluido que passa através de uma superfície. Matematicamente, o fluxo através de uma superfície é dado por:
Onde:
  • é o campo de velocidades do fluido.
  • é o vetor normal à superfície .
  • é um elemento de área da superfície.

Passo 3

Nossa superfície é o hemisfério superior da esfera . Para calcular o fluxo, precisamos do vetor normal . Como a esfera é centrada na origem, o vetor normal em qualquer ponto da superfície é simplesmente o vetor posição normalizado. Ou seja:
Nota: Como estamos lidando com uma esfera de raio 1, , então .

Passo 4

Agora, vamos calcular o produto escalar :
Portanto, o fluxo fica:

Passo 5

Para facilitar o cálculo da integral, vamos usar coordenadas esféricas, já que a superfície é uma esfera. Nas coordenadas esféricas, temos:
E o elemento de área em coordenadas esféricas é:
Onde:
  • varia de a (já que é o hemisfério superior).
  • varia de a .

Passo 6

Vamos expressar em coordenadas esféricas:
Ent��o, o fluxo fica:

Passo 7

Vamos separar a integral em três partes:
Simplificando cada termo:
  1. Primeiro termo:
  2. Segundo termo:
  3. Terceiro termo:

Passo 8

Vamos resolver cada integral separadamente.
Primeiro Termo:
Porque a integral do cosseno ao longo de um período completo é zero.
Segundo Termo:
Novamente, a integral de ao longo de a é zero.
Terceiro Termo:
E a integral em :
Vamos fazer uma substituição: , então . Quando , ; quando , .
Portanto:

Passo 9

Agora, juntando tudo:

Resposta

A quantidade de centímetros cúbicos do fluido que atravessa por segundo é cm³/s.

Exercícios relacionados