7-18 Use a Parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo para encontrar a derivada da função.
16. y=integral0^x^4 cos ^2 theta d theta

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente usar a Parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo para encontrar a derivada da função . Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral e diferencial. Precisamos entender como derivar uma integral cuja função limite superior depende de .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a Parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo. Ela nos diz que se temos uma função definida por uma integral com limite superior variável, ou seja, F'(x) = f(g(x)) cdot g'(x) , então a derivada de em relação a é:
Isso significa que para encontrar a derivada, avaliamos a função integranda no limite superior e multiplicamos pela derivada desse limite.

Passo 3

Aplicando isso ao nosso problema, identificamos:
  • A função integranda
  • O limite superior
  • O limite inferior é uma constante ( ), então não afeta a derivada.

Passo 4

Agora, vamos calcular g'(x) = ddx x^4 = 4x^3 , que é a derivada de :

Passo 5

Em seguida, avaliamos a função integranda no limite superior f(g(x)) = cos^2(x^4) :

Passo 6

Finalmente, aplicamos a fórmula da Parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo:
dydx = f(g(x)) cdot g'(x) = cos^2(x^4) cdot 4x^3

Resposta

A derivada da função é .

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