Calcule a integral iterada.
7.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos que calcular uma integral iterada, que é uma forma de calcular a área sob uma superfície em duas dimensões. O enunciado é:
Vamos precisar usar conceitos de cálculo integral, especificamente a integração múltipla. Precisamos integrar a função primeiro em relação a de 0 a 1 e depois em relação a de 0 a 2.

Passo 2

Começamos resolvendo a integral interna, que é a integral em relação a :
Para resolver essa integral, vamos fazer uma substituição. Vamos deixar . A derivada de em relação a é , então .

Passo 3

Agora, substituímos na integral:
A integral de é , então:
Voltando à variável original :
Agora substituímos os limites de integração de de 0 a 1.

Passo 4

Aplicando os limites de :
Agora, temos a integral resultante em termos de :

Passo 5

Vamos simplificar a integral:
Podemos separar a integral:
Agora, vamos calcular cada uma das integrais separadamente.

Passo 6

Primeiro, calculamos .
Fazemos a substituição , então .
Os limites de integração mudam para quando e quando .
Então:

Passo 7

Agora, calculamos :

Passo 8

Voltando à integral original:

Resposta

O valor da integral iterada é 24.

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