Calcule a integral iterada.
7.
7.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos que calcular uma integral iterada, que é uma forma de calcular a área sob uma superfície em duas dimensões. O enunciado é:
Vamos precisar usar conceitos de cálculo integral, especificamente a integração múltipla. Precisamos integrar a função
primeiro em relação a
de 0 a 1 e depois em relação a
de 0 a 2.
Passo 2
Começamos resolvendo a integral interna, que é a integral em relação a
:
Para resolver essa integral, vamos fazer uma substituição. Vamos deixar
. A derivada de
em relação a
é
, então
.
Passo 3
Agora, substituímos na integral:
A integral de
é
, então:
Voltando à variável original
:
Agora substituímos os limites de integração de
de 0 a 1.
Passo 4
Aplicando os limites de
:
Agora, temos a integral resultante em termos de
:
Passo 5
Vamos simplificar a integral:
Podemos separar a integral:
Agora, vamos calcular cada uma das integrais separadamente.
Passo 6
Primeiro, calculamos
.
Fazemos a substituição , então
.
Os limites de integração mudam para quando
e
quando
.
Então:
Fazemos a substituição
Os limites de integração mudam para
Então:
Passo 7
Agora, calculamos
:
Passo 8
Voltando à integral original:
Resposta
O valor da integral iterada é 24.
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e
.
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