Calcule a integral iterada.
7. integral0^2 integral0^1(2 x+y)^3 d x d y

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos que calcular uma integral iterada, que é uma forma de calcular a área sob uma superfície em duas dimensões. O enunciado é:
integral0^2 integral0^1(2x + y)^3 , dx , dy
Vamos precisar usar conceitos de cálculo integral, especificamente a integração múltipla. Precisamos integrar a função primeiro em relação a de 0 a 1 e depois em relação a de 0 a 2.

Passo 2

Começamos resolvendo a integral interna, que é a integral em relação a integral0^1(2x + y)^3 , dx :
Para resolver essa integral, vamos fazer uma substituição. Vamos deixar . A derivada de em relação a é , então .

Passo 3

Agora, substituímos na integral:
integral (2x + y)^3 , dx = integral u^3 cdot du2 = 12 integral u^3 , du
A integral de 12 cdot u^44 = u^48 é (2x + y)^48 , então:
Voltando à variável original :
Agora substituímos os limites de integração de de 0 a 1.

Passo 4

Aplicando os limites de [ (2x + y)^48 ]0^1 = (2 cdot 1 + y)^48 - (2 cdot 0 + y)^48 = (2 + y)^4 - y^48 :
integral0^2 (2 + y)^4 - y^48 , dy
Agora, temos a integral resultante em termos de :

Passo 5

Vamos simplificar a integral:
18 integral0^2 ( (2 + y)^4 - y^4 ) , dy
Podemos separar a integral:
18 ( integral0^2 (2 + y)^4 , dy - integral0^2 y^4 , dy )
Agora, vamos calcular cada uma das integrais separadamente.

Passo 6

Primeiro, calculamos integral2^4 u^4 , du = [ u^55 ]2^4 = 4^55 - 2^55 = 10245 - 325 = 9925 .
Fazemos a substituição , então .
Os limites de integração mudam para quando e quando .
Então:

Passo 7

Agora, calculamos [ y^55 ]0^2 = 2^55 - 0^55 = 325 :

Passo 8

Voltando à integral original:
18 ( 9925 - 325 ) = 18 cdot 9605 = 96040 = 24

Resposta

O valor da integral iterada é 24.

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