(2) Em cada caso, determine a equação da reta tangente ao gráfico da função f(x) no ponto do gráfico de coordenada x dada.
f(x) = e^(5 x), x = 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a equação da reta tangente ao gráfico da função no ponto onde . Isso envolve cálculos de derivadas, que fazem parte do cálculo diferencial.

Passo 2

Primeiro, para encontrar a reta tangente em um ponto específico de uma função, a gente precisa saber duas coisas: o valor da função nesse ponto e a inclinação da reta tangente nesse ponto. A inclinação é dada pela derivada da função naquele ponto.

Passo 3

Vamos começar encontrando a derivada da função . Usamos a regra da cadeia para derivar funções exponenciais. A derivada de , onde é uma função de , é .
Então, para :

Passo 4

Agora, vamos calcular a inclinação da reta tangente no ponto onde . Basta substituir na derivada que encontramos:
Então, a inclinação da reta tangente nesse ponto é 5.

Passo 5

Também precisamos saber o valor da função no ponto para saber onde a reta tangente toca o gráfico. Vamos calcular:
Então, o ponto de tangência é .

Passo 6

Com a inclinação e o ponto de tangência, podemos usar a fórmula da equação da reta:
Onde é a inclinação e é o ponto de tangência. Substituindo os valores que encontramos:

Resposta

A equação da reta tangente ao gráfico de no ponto é:

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