(2) Em cada caso, determine a equação da reta tangente ao gráfico da função
no ponto do gráfico de coordenada
dada.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a equação da reta tangente ao gráfico da função
no ponto onde
. Isso envolve cálculos de derivadas, que fazem parte do cálculo diferencial.
Passo 2
Primeiro, para encontrar a reta tangente em um ponto específico de uma função, a gente precisa saber duas coisas: o valor da função nesse ponto e a inclinação da reta tangente nesse ponto. A inclinação é dada pela derivada da função naquele ponto.
Passo 3
Vamos começar encontrando a derivada da função
. Usamos a regra da cadeia para derivar funções exponenciais. A derivada de
, onde
é uma função de
, é
.
Então, para
:
Passo 4
Agora, vamos calcular a inclinação da reta tangente no ponto onde
. Basta substituir
na derivada que encontramos:
Então, a inclinação da reta tangente nesse ponto é 5.
Passo 5
Também precisamos saber o valor da função no ponto
para saber onde a reta tangente toca o gráfico. Vamos calcular:
Então, o ponto de tangência é
.
Passo 6
Com a inclinação e o ponto de tangência, podemos usar a fórmula da equação da reta:
Onde
é a inclinação e
é o ponto de tangência. Substituindo os valores que encontramos:
Resposta
A equação da reta tangente ao gráfico de
no ponto
é: