Determine integral0^3 f(x, y) d x e integral0^1 f(x, y) d y.
2. f(x, y)=y+x e^y

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão pede. Temos a função e queremos calcular duas integrais definidas:
  1. – aqui, vamos integrar em relação a , mantendo constante.
  2. – aqui, vamos integrar em relação a , mantendo constante.
Para resolver isso, vamos precisar entender como integrar funções que têm mais de uma variável e como tratar cada termo da função separadamente.

Passo 2

Vamos começar com a primeira integral: integral0^3 (y + x e^y) , dx .
Substituindo na integral, temos:

Passo 3

Agora, vamos dividir a integral em duas partes, já que a integral da soma é a soma das integrais:
integral0^3 y , dx + integral0^3 x e^y , dx

Passo 4

Integrando o primeiro termo y integral0^3 dx = y [x]0^3 = y (3 - 0) = 3y :
Como é constante em relação a , a integral fica:

Passo 5

Agora, integrando o segundo termo e^y integral0^3 x , dx = e^y [ x^22 ]0^3 = e^y ( 92 - 0 ) = 92 e^y :
Aqui, também é constante em relação a , então:

Passo 6

Somando os resultados das duas integrais:
3y + 92 e^y

Passo 7

Agora, vamos para a segunda integral: integral0^1 (y + x e^y) , dy .
Substituindo na integral, temos:

Passo 8

Assim como antes, vamos dividir a integral em duas partes:
integral0^1 y , dy + integral0^1 x e^y , dy

Passo 9

Integrando o primeiro termo [ y^22 ]0^1 = 12 - 0 = 12 :

Passo 10

Agora, integrando o segundo termo x integral0^1 e^y , dy = x [e^y]0^1 = x (e - 1) :
Aqui, é constante em relação a , então:

Passo 11

Somando os resultados das duas integrais:
12 + x (e - 1)

Resposta

Portanto, as integrais calculadas são:
integral0^3 f(x, y) , dx = 3y + 92 e^y
integral0^1 f(x, y) , dy = 12 + x (e - 1)

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