1. tanh (ln x)=12(e^ln x-e^-ln x)12(e^ln x+e^-ln x)=x-1xx+1x=x^2-1x^2+1

Passo 1

Oi! Vamos resolver esse exercício que envolve funções hiperbólicas e logaritmos. A questão pede para mostrar que tanh (ln x) = x^2-1x^2+1. Para isso, vamos usar a definição da função tangente hiperbólica e propriedades dos logaritmos e exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a função tangente hiperbólica. A tangente hiperbólica de um número y é definida por:
tanh(y) = e^y - e^-ye^y + e^-y
Isso significa que para calcular tanh(ln x), vamos substituir y por ln x na fórmula.

Passo 3

Substituindo y por ln x, temos:
tanh(ln x) = e^ln x - e^-ln xe^ln x + e^-ln x
Agora, precisamos simplificar essa expressão usando propriedades dos logaritmos e exponenciais.

Passo 4

Lembrando que e^ln x = x e e^-ln x = 1x, podemos substituir na expressão:
tanh(ln x) = x - 1xx + 1x

Passo 5

Para simplificar ainda mais, vamos multiplicar o numerador e o denominador por x para eliminar as frações:
tanh(ln x) = x cdot (x - 1x)x cdot (x + 1x) = x^2 - 1x^2 + 1

Resposta

Portanto, mostramos que tanh (ln x) = x^2-1x^2+1.

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Derive as funções dos exercícos 6. a 16. (se for conveniente, use derivação logarítmica)
f(x) = x^pi + pi^x